Demostración campos conservativos

Hola, estaba estudiando el teorema que dice que si la integral sobre la curva solo depende de los extremos entonces la función tiene potencial.
Pero en la clase el tipo se empezo a mezclar y no entiendo bien que quedo, alguien sabe donde la puedo encontrar?
De ultima la subo y a ver si alguien entiende que pasa
Muchas gracias

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When the Prime Minister asked of a new discovery, 'What good is it?', Faraday replied, 'What good is a new-born baby?'

La idea termina siendo una cuenta parecida al T. Fundamental del Cálculo, y usás que el dominio es arco conexo. Sea \(F:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{n}\), continuo:
Querés ver que si la integral de \(F\) no depende del camino, o sea, solo depende de los extremos, entonces existe \(\phi :\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}:\nabla \phi (X)\eq=F(X)\).
Para ello, definamos \(\phi(x)\eq=\int_{C}F\,ds\), donde \(C\) recorre de \(r\) a \(x\), puntos del espacio \(\mathbb{R}^{n}\). Luego, queremos estudiar las derivadas parciales; sea la \(i\)-ésima. Para ello, vamos a estudiar un incremento en la dirección \({e}_{i}\) sobre \(\phi\). Como la integral no depende del camino, y el dominio es arco conexo, podemos tomar directamente la curva que va de \(a\) a \(x\) y luego el segmento que une \(x\) con \(x+h{e}_{i}\). Luego, tenemos, viendo que ese segmento viene parametrizado por \(\alpha (t)\eq=h{e}_{i}t+x,\; 0\leq t\leq 1\)

Bueno, ahora solo te basta probar que \(|\frac{\phi(x+h{e}_{i})-\phi (x)}{h}-{F}_{i}(x)|<\epsilon\), con \(\epsilon\) arbitrario. Esto es inmediato, tomando \({F}_{i}(x)\eq=\int_{0}^{1}{F}_{i}(x)\,dt\): En virtud de la continuidad de \(F\), en particular en \(x\), tomando \(|h|<\delta\) (o sea, para algún \(\delta\) que sabemos que existe), tenemos \(|{F}_{i}(h{e}_{i}t+x)-{F}_{i}(x)|<\epsilon\). De acá obtenés, finalmente: Nota: la acotación vale, pues el \(t\) está fijo, o sea, lo que digo es que si \(F\) es continua, entonces \(F(x+h{e}_{i})\rightarrow F(x)\) para \(h\rightarrow 0\) como también \(F(x+2h{e}_{i})\rightarrow F(x)\). Espero que se entiende lo que quise aclarar... Bueno, espero que haya servido y haya quedado claro. Saludos(en la teórica, hay una diferencia, y es que se toma otra parametrización de la recta)

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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities

Muchas gracias
Si, en la teorica con la otra parametrizacion el tipo se hace quilombo con la t's y las h's