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Tema

[no resuelto] final 23/12/08 ej 4

5 respuestas 5631 visitas
#1 aye

4 a) Hallar las soluciones de
\(t^2x''(t)+tx'(t) -x(t)=2log(t)-1\) (t>0) (1)

¿Cuál es su intervalo maximal? sugerencia: Encontrar un cambio de variable apropiado

b) Hallar todas las soluciones de x(t) de (1) que verifican

$$\lim_{t \rightarrow \infty}x(t) =-\infty$$

Sé que lo postearon antes, pero no está resuelto y no tengo idea como se hace. 😕

Firma

"La matemática es una travesía al interior de una extraña jungla donde los exploradores se pierden con frecuencia".

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#2 aye

Después de la ayuda de Maxtwo creo que salió 😄
a) hago un cambio de variables \(t= e^y\) con lo cual\(x(t)=x(e(y))=z(y)\)
luego \(t^2x''(t) +tx'(t)-x(t)=2ln(t)-1\)es equivalente a \({e}^{2y}x''(e^y)+{e}^{y}x'(e^y)-x(e^y)=2y-1\) (*)
por otro lado tenemos que

$$z'(y)=x'(e^y)e^y$$
$$z''(y)=x''(e^y){e}^{2y}+{e}^{y}x'(y)$$
con lo que (*) es equivalente a \(z''(y)-z(y)=2y-1\) esto es más facil de resolver 😛 ya que es equivalente al sistema: z'=v v'=2y-1+z ie,
$$\left(\begin{matrix}z' \\ v' \end{matrix}\right) =\left(\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}z \\ v\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}0 \\2y-1\end{matrix}\right)$$
Donde las soluciones del sistema son de la pinta\(X=X_h+X_p\) busquemos primero la solución de homogeneo para eso buscamos los autovalores de
$$\left(\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{matrix}\right)$$
que son\(\lambda=1, \lambda=-1\) cuyos autovectores son (1,1) y el (1,-1) respectivamente luego
$$X_h=c.e^y\left(\begin{matrix}1 \\ 1\end{matrix}\right) +k.{e}^{-y}\left(\begin{matrix}1 \\ -1\end{matrix}\right)$$
ahora busquemos la solución particular que me quedo:
$$X_p= \frac{y^2-y}{2}{e}^{y}\left(\begin{matrix}1 \\ 1\end{matrix}\right) + \frac{-y^2+y}{2}.{e}^{-y}\left(\begin{matrix}1 \\ -1\end{matrix}\right)$$
por lo tanto
$$X= c.e^y\left(\begin{matrix}1 \\ 1\end{matrix}\right) +k.{e}^{-y}\left(\begin{matrix}1 \\ -1\end{matrix}\right)+\frac{y^2-y}{2}{e}^{y}\left(\begin{matrix}1 \\ 1\end{matrix}\right) + \frac{-y^2+y}{2}.{e}^{-y}\left(\begin{matrix}1 \\ -1\end{matrix}\right)$$
luego x(t)=t(c-k)+t(ln(t)^2+ln(t))
#3 aye

es posible que para el item b) no existe x(t) tal que el límite tienda al menos infinito?
pues \(x(t)=t(c-k+ln(t)(ln(t)-1))\) esto tiende siempre a mas infintito para cualquier c y k constantes

#4 exequiel131719

Si no me equivoco, cuando deshacés el cambio \({e}^{-y}\) te queda \(\dfrac{1}{t}\) lo que te cambia el resultado que ponés;ahora hay un factor que es \(\dfrac{ln(t)}{t}\) que cuando \(t\rightarrow +\infty\) se va a \(0\). Fijate.

Firma

I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities

#5 fiaca y modorra

Sí, te queda 1/t....pero me queda una duda o "preguntonta":por qué no da lo mismo si no lo resuelvo como un sistema de ecuaciones?o sea,si lo resuelvo como una ecuación lineal de 2do orden da algo diferente...

#6 aye

cómo hiciste para resolverla como una lineal de orden dos?
Marce!! tenes razón!!no se hacer cuentas