Ya lo postiaron pero lo repito
sea \(y'=|y(t)|^a\) con y(0)= y a>0 Hallar los a talesq ue y(t) sea la única solución. En los demás casos hallar una solución del sistema.
Como y'>0 ocurre que y es creciente, luego sólo se anula en 0. entonces....
- para los t>0 queda que \(y'=y^a\Rightarrow\frac{y'}{y^a}=1\Rightarrow y=ce^t(a=1)\) o bien \(y=(c(1-a)t)^{\frac{1}{1-a}}\)
- para los t<0 queda muy parecido salvo por un menos que aparece por ahí uqedando entonces: \(y=ce^{-t}\) o bien \(y=(c(a-1)t)[Tex]^{\frac{1}{1-a}}\)[/Tex]
Ahora bien, para a=1 sólo se cumple que y(0)=0 si c=0 con lo cual y(t)=0 para todo t REAL (yas ea positivo onegativo)
Si en cambio a no es uno, la cosa en un poquito más complicada porque en 0, habrá problemas para que exista y' si a vale 2. entonces... ahí me pierdo un poco.
Yo creo que debería pedir exponente no negativo, o sea a menor que 1. PEro pasa que si a es menos que uno tengo que 1-a es más que 2, luego 1/(1-a) es menos que 1/2 y ahí chau porque no habría derivada en 0
Estaría bien entonces para a=1 nada más?
otra cosa que pensé es descartar los casos para t<0 pues supongo que el dato inicial es 0 es es menor de todos, pero esto haría perder el sentido de poner un módulo ahí. ¡opiniones?