Sea \(F:\mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}\) y \(f:\mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}\) los dos \(C^{1}\).
a) Verifique que \(rot(fF)=\nabla f \wedge F+ f rot(F)\)
b) Suponga que \(F=\nabla \phi\). Pruebe que si \(fF\) es conservativo entonces \(f\) es constante sobre las curvas de nivel de \(\phi\).
con el a) no tuve problema, el b) no tengo idea de como encararlo, solo llegue a que \(\nabla f \wedge \nabla \phi=0\) usando a) pero hasta ahi llegue 😛 cualquiera que pueda tirarme una idea muchas gracias
Te cuento lo que yo pensé! no lo hice con producto interno. yo hice lo que dijo ALE
si \(F=\bigtriangledown \phi\) luego rot(F)=0
usando que fF es conservativo (que es equivalente a que rot(fF)=0)
nos queda:
es decir\(0=\bigtriangledown fXF=\bigtriangledown fX\bigtriangledown\phi\) lo que nos dice que el gradiente de y es paralelo al de \(\phi\)
por lo tanto \(f= \lambda. \phi +k\) con \(\lambda, k \in \mathbb_{R}\)
luego sea \(c_r={(x,y,z) \in{\mathbb_{R}}^{3} / \phi(x,y,z)=r}\)
entonces\(f(c_r)=r+k=s\)
lo que nos dice que es constante sobre las curvas de nivel de phi
Firma
"La matemática es una travesía al interior de una extraña jungla donde los exploradores se pierden con frecuencia".