\(V,W^\) son espacios vectoriales con producto interno, \(f \in Hom(\matbb{V},\matbb{W})\).
Probar que si \(dim \matbb{V}, \mathbb{W} < \infty \Rightarrow Im(f*) \supset Ker(f)^ \perp\). (Se puede asumir que la otra desigualdad ya vale).
Estuve un buen rato...Si llamo \(v_0\) al vector ortogonal al núcleo de f, no sé cómo probar que existe un w tq \(f^*(w)=v_0\). Ni tampoco me sale por el absurdo....
Claramente hay que usar que las dimensiones son finitas, pero me estuve armando bases de...las distintas cosas (también aprovechando que las podía crear ortonormales) y no llegué a nada. Alguna idea? Muchas gracias!
Si ya sabés que vale la otra inclusión fijate si te sale probar que las dimensiones son iguales (ahí estarías usando que las dimensiones de V y W son finitas).
Otra forma:
Demostrá primero que \((\textrm{im}f^*)^\perp\subseteq \ker f\) y después tomá ortogonal a ambos lados.
Está demo solo usa que la dimensión de V es finita.
Sofía:
Si me creo una B BON de V tal que contenga a B1 base de \(Nu(f)\),
usando que \(dim(Im(f^*))=dim(Im(f))\) y que \(dim(Im(f)) = dim(Nu(f)^ \perp)\), sale.
Quimey:
Sea \(v/ <f^*(w),v>= 0\) \(\forall w \in \mathbb{W}\). qvq \(f(v)=0\).
Esto es lo mismo que probar que \(||f(v)||=0 \Leftrightarrow <f(v),f(v)>=0 \Leftrightarrow <f^* o f(v), v> = 0\). Llamando \(w=f(v)\), queda
\(<f^*(w), v> = 0\), lo cual sabemos que vale. Tomando ortogonal a ambos lados, queda lo pedido.
Je. En la de Sofía, cuando digo que las dimensiones son iguales para probar que los conjuntos son iguales.
En tu idea, CREO que es cuando tomo ortogonal a ambos lados. Esto lo puedo hacer porque estamos en dimensión finita? No se me ocurre un contraejemplo para cuando estamos en infinita...
Efectivamente es ahí. Encontrar un ejemplo es un poco mas delicado, pero cualquier subespacio no cerrado te sirve (porque el ortogonal siempre es cerrado). Si esto no tiene sentido ahora, esperá a cálculo avanzado 😛