#1 billy 2015-02-26 19:14 Acá cuento cómo resolví un ejercicio. Si lo hice mal o si a alguien se le ocurre una manera más fácil, que avise!
En un espacio de dimensión finita, \(f\) endomorfismo, \(p \in K[X]\)
Sean \(v, w\) vectores.
$$p(z) = p(f) (z)$$
Si \(m_v=m_w \Rightarrow m_{p(v)} = m_{p(w)}\)
Mi idea es esta:
Sea \(Q = (m_v:p)\) (el máximo común divisor).
Digamos que:
$$m_v = QM$$
\(p = QP\),
con \((Q:P)=(Q:M)=1\).
Propongo a nuestro amigo M como \(m_{p(v)} = m_{p(w)}.\)
$$M(f)(p(v)) = M(f) Q(f) P(f) (v) = P(f) m_v(f) v = 0.$$
entonces \(M | m_{p(v)}\).
Veamos que \(m_{p(v)} | M\).
\(m_v | m_{p(v)}\) pues \(m_v(f) p(v) = 0\) (ejercicio para el lector)
Entonces, en particular,
\(m_v | m_{p(v)} * p\). Es decir,
$$M Q | m_{p(v)} Q P \Rightarrow$$
$$M | m_{p(v)} P$$
$$(M:P) = 1 (ejercicio) \Rightarrow M | m_{p(v)}.$$
Como puedo suponer a p mónico, entonces son iguales.
Análogamente, pruebo que\(M = m_{p(w)}\). Listo el pollo.
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#2 Quimey 2015-02-26 21:32 v es un vector? que significa p(v)?
Firma
Quimey
#3 billy 2015-03-02 16:07 Ahi lo edité para mayor claridad.
#4 Quimey 2015-03-02 16:47 Me parece que hay algunos problemitas con las justificación. Yo intentaría hacer más o menos lo mismo que vos pero sin involucrar al M. Probá directamente que \(m_p(v)(f)(w)=0\) y al revés.
#5 billy 2015-03-06 01:46 Me parece una buena idea....pero lo estoy intentando SIN pasar por lo de la M y no me sale. (Asumo que quisiste decir que evaluando en p(w) de 0, no en w)
Estoy usando que \(m_v = m_{p(v)} Q = m_{p(w)} R\)....algún tip? Rindo mañana 🙂