Caracteristico

Alguno tiene ya calculado el caracteristico de la matriz \(A \in \mathbb{R}^{nxn}\) tal que \(a_{ij}=1\) \(\forall i,j\). Porque me estoy volviendo chino tratando de calcularla.

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Usá la "sugerencia" que da el enunciado. Dice "diagonalizar las siguientes matrices calculando los autovectores", o sea, tratá de buscar a ojo (y con otras herramientas vistas en clase) algunos autovectores, con eso deducís cuáles son los autovalores, y con eso ya tenés el característico.
Si no te sale te tiro más pistas

Puede ser que sea algo como \(x^n + (-1)^{n+1}x^{n-1}\)?

EDIT: Cambie por n-1

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Ese polinomio tiene grado n+1, y la matriz la estamos suponiendo en \(\mathbb{R}^{nxn}\), así que no, no puede ser ese.
Por qué lo propusiste? En qué pensaste?

Me confundi es n-1 ahora lo corrijo.

El polinomio que escribiste es \(X^{n-1}(X-(-1)^n)\), o sea estás diciendo que los autovalores son \(0\) y \(1\) o \(-1\) (dependiendo de \(n\)), cómo llegaste a eso? cuáles son los autovectores asociados?
(una parte está bien pero la otra no)

Llegue calculando el de 2x2, 3x3, 4x4, 5x5 y 6x6 y saque una formula. Despues probe un par mas y servia. Que parte esta mal?. Es claro que la dimension del nucleo es n-1.

Claro, la parte del núcleo está bien. \(0\) es autovalor de multiplicidad \(n-1\). Lo que está mal es el otro autovalor. Revisá las cuentas porque no queda eso. Para \(n=2\) queda \(X^2-2X\) por ejemplo.
Mi sugerencia es que encuentres "a ojo" un autovector (que no sea uno de los del núcleo) y ahí ya te va a saltar cuál es el autovalor que falta (como \(dim(Nu(A))=n-1\) sabés que te falta solo uno)

Puede ser n el otro autovalor? el (1,1,...,1) es autovector, no?

Sí 🙂

Gracias!!! 😄