Vectores ortonormales y prod int

Sea \(B=\{v_1,\dots ,v_n\}\) una base de \(V\). probar que existe un único producto interno tal que \(B\) es ortonormal.

Y esto con que se come???

Primero: ver que existe 1. Lo definis como
\(<{v}_{i},{v}_{j}>=0\) si \(i \neq j\)
\(<{v}_{i},{v}_{j}>=1\) si \(i=j\)

Habría que ver que así definido es un p.i., o sea, si cumple todas las cosas que tiene que cumplir.

Segundo: ver que es único. Suponés que existe otro y llegás a que son iguales (el truco que casi nunca falla xD).
Usas la matriz del p.i. en tu base \(B\), que para ambos en la identidad. Usas la definición de un producto interno a partir de su matriz y te queda que son iguales.

Cualquier cosa me preguntas mañana en Ciudad 🙂