$$$ Sea V un K-espacio vectorial de dimensi\'on n.$$$
$$$a) sean $\varphi_1,\varphi_2 \in V^\star \backslash \{0\}$. Demostrar que$$
$$Nu(\varphi_1)=Nu(\varphi_2) \iff \{\varphi_1,\varphi_2\}$$
$$$es linealmente dependiente.$$$
\(\Leftarrow) {\varphi_1,\varphi_2}$ es linealmente dependiente. i.e.\)
$$\alpha.\varphi_1 + \beta.\varphi_2= 0 $ para alg\'un $\alpha,\beta \neq 0$$
$$\alpha.\varphi_1 =-\beta.\varphi_2$$
$$-\frac{\alpha}{\beta}\varphi_1 =\varphi_2$ suponiendo que sea $\beta \neq 0$$
$$$Sea $ v\in Nu(\varphi_2)$$
$$\varphi_2(v)=0=-\frac{\alpha}{\beta}\varphi_1(v)$$
$$\varphi_1(v)=0$$
$$\Rightarrow)$$
$$$Considero la base$$
$$B=\{n_1,...,n_{n-1},w\}$ donde $\varphi_1(n_i)=\varphi_2(n_i) = 0 \forall i$ y $\varphi_1(w),\varphi_2(w)\neq 0.$$
$$$Observar que dim $Nu(\varphi)=n-1$,por lo que dim $Im(\varphi)= 1 (\varphi\neq 0$ por hip)$$
$$$Sea $B^\star=\{\xi_1,...\xi(n)} $su dual.$$
$$(\varphi_1)_B^\star = (\varphi_1(n_1),...,\varphi_1(w))=(0,0,0...,\varphi_1(w))$$
$$(\varphi_2)_B^\star = (\varphi_2(n_1),...,\varphi_2(w))=(0,0,0...,\varphi_2(w))$$
$$$Adem\'as, $\varphi_1$ se escribe como CL de elementos de $B^\star$, al igual que $\varphi_2.$$
$$\varphi_1= \sum_{i=1}^n \alpha_i\xi_i =\sum_{i=1}^{n-1} \varphi_1(n_i)\xi_i + \varphi_1(w)\xi_n= \varphi_1(w)\xi_n$$
$$\varphi_2= \sum_{i=1}^n \beta_i\xi_i =\sum_{i=1}^{n-1} \varphi_2(n_i)\xi_i + \varphi_2(w)\xi_n= \varphi_2(w)\xi_n$$
$$$Entonces:$$
$$\varphi_1=\varphi_1(w)\xi_n$$
$$\varphi_2=\varphi_2(w)\xi_n$$
$$$o, lo que es lo mismo,$$
$$\varphi_1=K.\varphi_2$$
\($Donde K es un cociente entre $\varphi_1(w) y \varphi_2(w)\)
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