EDIT: El ejercicio consiste en encontrar la forma de Jordan de A, que cumple esas once cosas simultáneamente.
Mi análisis por ahora me dice que hay un bloque de 2x2 y otro de 3x3 para \(\lambda_1\), un bloque de 2x2 para \(\lambda_2\), y un bloque de 1x1 para \(\lambda_3\).
Saco esto de la Ia formula \(c_i=rg(A^{i-1}) - 2 rg(A^i) + rg(A^{i+1})\), para la cantidad de bloques nilpotentes de Jordan de \(i\times i\) para una matriz A (en este caso, \(A - \lambda_k I\)).
Pero con estos datos me estan faltando bloques. Como podría calcular las dimensiones y cantidad de los bloques faltantes para cada autovalor? Si uso los \(b_i = rg((A - \lambda I)^i) - rg((A - \lambda I)^{i+1})\) solo me dice cantidad, no dimensiones 🙁
Gracias 🙂 Sigue sin caerme la ficha "global" de Jordan todavía.
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Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.
Para \(\lambda_2\) y \(\lambda_3\) te falta información, tenes que seguir calculando rangos hasta que se estabilice (o sea, te den 2 iguales como en \(\lambda_1\)).
Un bloque de 6x6 para \(\lambda_2\) y uno de 4x4 para \(\lambda_3\) sirven. Es dificil de explicar aca, pero la onda es que si las dimensiones bajan de a uno hay un solo bloque y cuando dejan de bajar es cuando el bloque se acabo. Como tus dimensiones no dejaron de bajar sabes que todavia no se acabaron los bloques, asi que uno tiene que ser de 4x4 o mas y el otro de 3x3 o mas
Warning: Ficha cayendo a velocidades relativistas.
Los nucleos de \((A - \lambda_2 I)^i\) son 2, 4, 5, 6.
Entonces primero encontré dos autovectores de verdad, porque \(dim(Nu(A - \lambda_2)) = 2\), o sea la dimensión del autoespacio del autovector \(\lambda_2\) es 2, entonces tengo 2 vectores L.I. que lo generan. Esto también me indica que, para este autovalor, voy a tener dos bloques de Jordan (intuitivamente, cada bloque es un autovector del autovalor, mas algunos autovectores generalizados del mismo).
Pero quizás hay más cosas interesantes - quizás hay autovectores generalizados. Entonces me fijo en \(dim(Nu((A - \lambda I)^2))\) a ver si hay autovectores generalizados de orden 2 para \(\lambda_2\). Veo que la dimensión de este núcleo es 4. Entonces, lo que encontré son los mismos 2 vectores L.I. que tenía antes (dado que el anterior núcleo siempre está incluido en este), mas otros dos, L.I., de orden 2. Imaginemos que le corresponde un autovector generalizado a cada autovector posta. Entonces ahora voy a tener dos bloques, que por ahora van a ser de tamaño 2 cada uno.
Me fijo en la próxima. \(dim(Nu((A - \lambda_2)^3)) = 5\). Pero entonces no encontré dos vectores L.I. más, solo uno. Entonces uno de los bloques se va a quedar desnutrido, y va a tener solo tamaño dos. A este se le terminó la carrera. Pero el otro sobrevivió! A este afortunado, le agrego un autovector generalizado, entonces ahora los bloques son de tamaños 2 y 3.
Me fijo en la próxima, \(dim(Nu((A - \lambda_2)^4)) = 6\). Otra vez, encontré /otro/ autovector generalizado. Hay un solo bloque que sigue en carrera, que es el que tenía tamaño 3 antes. Entonces le doy este, y tiene tamaño 4.
Entonces los bloques me quedan de tamaño 2 y 4 para \(\lambda_2\).
Pero, importante, yo sé que uno de los dos murió en 2. Pero el otro todavía no sé si murió. Solo se que llegó hasta 4, después no me dicen nada. Entonces el tamaño es mayor o igual a 4.
Para \(\lambda_1\), es algo parecido. Los núcleos son 2, 4, 5, 5. Entonces voy a tener 2 bloques. Los hago crecer a los dos en 1 cada uno. Después uno muere, y después el otro muere, entonces /seguro/ que los bloques son de tamaño 2 y 3.
Para \(\lambda_3\), los núcleos son 2, 3, 4. Entonces voy a tener 2 bloques. Uno va a ser de 1x1, el otro de por lo menos 3x3, porque le pude agregar 2 autovectores generalizados.
Entonces me quedan:
\(\lambda_1\): 2x2, 3x3
\(\lambda_2\): 2x2, \(\ge\)4x4
\(\lambda_3\): 1x1, \(\ge\)3x3
Pero veo que simplemente tomando los mínimos valores posibles, las dimensiones de los bloques suman a 15, que es lo que quiero. Entonces esos mayores o iguales, son en realidad iguales, y queda resuelto el ejercicio.