$$$Sea $(V,<,>)$ un espacio vectorial con producto interno de dimensi\'on$$
$$$finita y sea $f : V \rightarrow V $una tranformaci\'on lineal.$$
$$$Probar que $Im(f^\star)=Nu(f)^\perp$$
Y esto????
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[Resuelto}Ej 16 Práctica 8
Te recomiendo que plantees por definicion lo que tenes que demostrar, despues de eso sale facil.
Recuerdo de Algebra 1: Para probar que dos conjuntos son iguales podes probar la doble inclusion.
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Quimey
Voy a ver que \(Im(f^\star) \subseteq (Nu(f))^\perp\) y \(dim(Im(f^\star))=dim((Nu(f))^\perp)\)
Sea \(w \in Im(f^\star)\), quiero ver que, si \(v \in Nu(f)\), \(\Rightarrow <w,v>=0\) (es decir, \(w \in (Nu(f))^\perp\))
Como \(w \in Im(f^\star)\), existe \(z \in \mathbb{V}\) tal que \(f^\star(z)=w\)
Sea \(v \in Nu(f)\). Miro \(<f(v),z>\).
Por definición de \(f^\star\)
$$<f(v),z>=<v,f^\star(z)>=<v,w>$$
Por otro lado, como \(v \in Nu(f)\), \(f(v)=0\) y queda
$$<f(v),z>=<0,z>=0$$
Luego
$$0=<f(v),z>=<v,w> \Rightarrow w \in (Nu(f))^\perp$$
Veo las dimensiones:
\(dim(Nu(f))+dim((Nu(f))^\perp)=dim(\mathbb{V})\), entonces
$$dim((Nu(f))^\perp)=dim(\mathbb{V})-dim(Nu(f))$$
$$dim(Im(f^\star)+dim(Nu(f^\star))=dim(\mathbb{V})$$
Como \(dim(Nu(f^\star))=dim(Nu(f))\) (pues sus matrices en una base ortonormal tienen en mismo rango),
$$dim(Im(f^\star))=dim(\mathbb{V})-dim(Nu(f))$$
Luego, \(dim(Im(f^\star))=dim((Nu(f))^\perp)\)
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$$\bigstar Sofi \bigstar$$
Gracias Sofi y Quimey