Perdón que postee tantos "a corregir", "no resuelto", etc... pero me siento sumamente inseguro con estas cosas...
$$$Sea $(V, <,>)$ un espacio vectorial con producto interno de dimensi\'on$$
$$$finita y sea S un subespacio de V .$$
$$$Probar que la proyecci\'on ortogonal $P : V \rightarrow V$ sobre S es autoadjunta.$$
$$$Calcular sus autovalores.$$
\($Sea B la base ortonormal de V con el producto interno dado\)
$$$donde los primeros r vectores generan S y los \'ultimos n-r generan $S^\perp$ \color{red}{(1)}$$
$$$Se define la proyecci\'on de S en V como:$$
$$P_S(v) = \begin{cases} v & $si $v \in S \\ 0 & $si $v \notin S \end{cases}$$
$$$Luego, para la base B,$$
$$\vert P_S \vert_B = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0\end{matrix}\right)$$
$$$O sea, B posee (porque lo eleg\'i as\'i) elementos li de S en las primeras$$
$$$coordenadas y elementos li de $S^\perp$ en las \'ultimas coordenadas.$$
$$$Luego, uso que F es autoadjunta $\iff$ existe una base ortonormal$$
$$$tal que F es diagonal con autovalores reales en esa base.$$
$$$F es autoadjunta pues encontr\'e que F es diagonal en B, base ortonormal$$
$$$por $\color{red}{(1)}$$
$$$Esta matriz posee autovalores 0 y 1 y es diagonal. Luego, P es$$
\($autoadjunta\).
Edit: está corregido, cualquier contribución bienvenida sea. Gracias laejl y Quimey
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