$$$Sea V un espacio vectorial con producto interno $<,>$. Sea $W \subseteq V$ un$$
$$$subespacio de dimensi\'on finita de V . Probar que si $x \notin W$, entonces$$
$$$existe $y \in V$ tal que $y \in W^\perp$ y $<x,y>\neq0.$$
\($Sea $B= \{w_1,...,w_r,w_{r+1},...,w_n\}$ la base ortonormal de V asociada al\)
$$$producto interno $<,>$$$
$$$Donde $\{w_1,...,w_r\}$ es una base de W y $\{w_{r+1},...,w_n\}$ es una base de $W^\perp$$$
$$$Se define $P_{W^\perp}: V \rightarrow V$ como$$
$$P_{W^\perp}(w_i) = \begin{cases} w_i \hspace{1 cm} si \hspace{0.5 cm}r+1\leq i \leq n \\ 0 \hspace{1 cm} si \hspace {0.5 cm}0 \leq i \leq r \end{cases}$$
$$$Como $x \notin W \Rightarrow P_{W^\perp}(x) \neq 0.$$
$$$Sea $y :=P_{W^\perp}(x)$$
$$$Cheque\'emos que "y" efectivamente cumpla los requisitos.$$
$$y \in W^\perp. $ De hecho, y es la proyecci\'on ortogonal de x.$$
$$$Adem\'as, $P_{W^\perp}(y) = y \Rightarrow y \in Im(P_{W^\perp})$$
$$$Por otro lado, quiero ver que $<x,y> \neq 0$$
$$<x.y>=<\sum_{j=1}^{n} \chi_j . w_j,\sum_{j=r+1}^{n} \psi_j . w_j>= \color{red}{(1)}$$
$$$Como $y \notin W \Rightarrow, \psi = 0 \; \forall \; 0 \leq \psi \leq r.$ Puedo separar la suma y el producto de tal manera que me queden las sumas por separadas... El drama es que ser\'ian un mont\'on... Se entiende que hasta r da todo cero.$$
\(\color{red}{(1)}\)\(= <\sum_{j=r+1}^{n} \chi_j . w_j,\sum_{j=r+1}^{n} \psi_j . w_j>\)
$$$Esta sumatoria, por definici\'on, hace que $\chi_j . w_j = \psi_j . w_j \;\forall \; r+1\leq j\leq n$$
\($Por propiedades del producto interno, esto es mayor a cero.\)
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