Lo pongo en su propio thread asi la gente lo encuentra 🙂
Sea \(S \subseteq (\mathbb{R}^{3})^*\) \(S=\{ \varphi \in (\mathbb{R}^{3})^* / \varphi (1,-1,2) = 0 \}\) Encontrar una base de \(S\).
Lo que yo pense fue:
Primero escribo la base del cual busco el dual:
Sea \(B=\{(1,-1,2)(0,1,0)(0,0,1)\}\) base de \(\mathbb{R}^{3}\) me armo la base dual \(B^*=\{{\varphi}_{1},{\varphi}_{2},{\varphi}_{3}\}\) Con lo tipico de \({\varphi}_{i}(v_i)=1\).
Me busco la combinacion lineal del vector \((x,y,z)\) con la base \(B\):
\((x,y,z)=a.(1,-1,2)+b.(0,1,0)+c.(0,0,1)=(a,-a+b,2a+c)\), es decir:
$$x=a$$
\(y=b-a=b-x\) Entonces \(x+y=b\),
\(z=2a+c=2x+c\) ie, \(z-2x=c\).
Por lo tanto vale que:
$$(x,y,z)=(x).(1,-1,2)+(x+y).(0,1,0)+(z-2x).(0,0,1)$$
Aplico las distintas funciones de mi base dual:
$${\varphi}_{1}(x,y,z)=(x).{\varphi}_{1}(1,-1,2)+(x+y).{\varphi}_{1}(0,1,0)+(z-2x).{\varphi}_{1}(0,0,1)$$
$${\varphi}_{2}(x,y,z)=(x).{\varphi}_{2}(1,-1,2)+(x+y).{\varphi}_{1}(0,1,0)+(z-2x).{\varphi}_{2}(0,0,1)$$
$${\varphi}_{3}(x,y,z)=(x).{\varphi}_{3}(1,-1,2)+(x+y).{\varphi}_{1}(0,1,0)+(z-2x).{\varphi}_{3}(0,0,1)$$
Y utilizando las propiedades basicas de dual tenemos que:
$${\varphi}_{1}(1,-1,2)=1$$
$${\varphi}_{1}(0,1,0)=0$$
$${\varphi}_{1}(0,0,1)=0$$
$${\varphi}_{2}(1,-1,2)=0$$
$${\varphi}_{2}(0,1,0)=1$$
$${\varphi}_{2}(0,0,1)=0$$
$${\varphi}_{3}(1,-1,2)=0$$
$${\varphi}_{3}(0,1,0)=0$$
$${\varphi}_{3}(0,0,1)=1$$
Por lo tanto:
$${\varphi}_{1}=x$$
$${\varphi}_{2}=x+y$$
$${\varphi}_{3}=z-2x$$
Son las funciones de la base dual que buscamos:
Ahora, las que necesitamos para \(S\), son \({\varphi}_{2},{\varphi}_{3}\).
Y nos queda que:
$$S=<{\varphi}_{2},{\varphi}_{3}>$$
