Sea en \(\mathbb{R}^2\) \(B=\{(1,2)(1,-1)\}\).
Hallar \(B*\)
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[Resuelto] Ej de Dual
En principio,busco escribir un vector \((x,y)\) como combinacion lineal de los vectores de \(B\),la base.
Asi,\((x,y)= a(1,2)+b(1,-1)\)
i.e....
$$\left(\begin{matrix}1 & 1 \\ 2 & -1\end{matrix}\right).\left(\begin{matrix}a \\ b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x\\ y\end{matrix}\right)$$
Y ,asi llego a las siguientes ecuaciones...
$$3b=2x-y\Rightarrow b=\frac{2x-y}{3}$$
$$a +\frac{2x-y}{3}=x \Rightarrow a=\frac{x+y}{3}$$
Ahora tenemos que...\((x,y)=(\frac{x+y}{3})(1,2)+(\frac{2x-y}{3})(1,-1)\)
aplico la primer funcional del la base dual que busco para sacar condiciones,la llamo\({\varphi}_{1}\)
$${\varphi}_{1}(x,y)=(\frac{x+y}{3}){\varphi}_{1}(1,2)+(\frac{2x-y}{3}){\varphi}_{1}(1,-1)$$
aplico la segunda funcional,la llamo \({\varphi}_{2}\)
$${\varphi}_{2}(x,y)=(\frac{x+y}{3}){\varphi}_{2}(1,2)+(\frac{2x-y}{3}){\varphi}_{2}(1,-1)$$
y por propiedad de la base dual...
$${\varphi}_{1}(1,2)=1$$
$${\varphi}_{1}(1,-1)=0$$
$${\varphi}_{2}(1,2)=0$$
$${\varphi}_{2}(1,-1)=1$$
Asi resultan....\({\varphi}_{1}(x,y)=\frac{x+y}{3}\)
\({\varphi}_{2}(x,y)=\frac{2x-y}{3}\)
Saludos a todos 🙂
Medio enredado... pero correcto.
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Más fácil:
La base dual \(\phi_1, \phi_2\) tiene que cumplir que \(\phi_1(1,2) = 1, \phi_1(1,-1) = 0\). Si \(\phi_1(x,y) = ax + by\), de la segunda ecuación sacamos que \(b=a\). De la primera sale que \(a = 1/3\). Haciendo lo mismo con la segunda, queda otro funcional. Por unicidad de la base dual, listo.
ajja..no habia visto tu resolucion " yossa" gracias por aclarar mi demo 🙂 ( y por tu sellito)