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Ejercicio 2 - Práctica 4

7 respuestas 7447 visitas 2009-09-29

#1 Erizo 2009-09-29 01:41

Lo reconozco, no entiendo en lo más mínimo que es esto de la base dual.
Me dice algún alma bondadosa que lo que estoy haciendo está bien o mal (que supongo que está mal)

Dada la base B del K-espacio vectorial V, hallar su base dual en cada uno de los siguientes casos:

V= \mathbb{R}^2 , B= \{(1,-1),(2,0)\}

Bueno, lo único que entendí de todo esto es que se definen funciones evaluadas en un cierto vector como 1 o 0...

$$f_1 (1,-1) = 1$$

$$f_1 (2,0) = 0$$

$$f_2 (1,-1)=0$$

$$f_2 (2-0)=1$$

Y entonces la base dual sería $\{ (1,0),(0,1) \}$????

No entiendo :s

De yapa pregunto el 1):

Sea $S \subseteq (\mathbb{R}^{3})^3$ el subespacio $S=\{ \varphi \in \mathbb{R}^3 / \varphi (1,-1,2) = 0 \}$. Hallar una base de $S$

Se me ocurre, al igual que el primero, definir $f_i (1,-1,2) = 0$, ¿y luego?

Un saludo y gracias por todo

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#2 Quimey 2009-09-29 01:43

La base dual esta formada por funciones, en tu caso la base dual sería $\{f_1,f_2\}$

Firma

Quimey

#3 KillSchrodingerCat 2009-10-07 12:46

Quimey escribió:

La base dual esta formada por funciones, en tu caso la base dual sería $\{f_1,f_2\}$

**No podés definir a la base dual, considerando a un vector $(x,y)$ como combinación lineal de los vectores de la base?

De esta manera:**

$$(x,y)=a(1,-1)+b(2,0)$$

\Rightarrow a=-y

b= \frac{x+y}{2}

Entonces, como la base dual debe cumplir que:

f_{1}(1,-1)=1

f_{1}(2,0)=0

f_{2}(1,-1)=0

f_{2}(2,0)=1

\Rightarrow

f_{1}(x,y)=-y

f_{2}(x,y)=\frac{x+y}{2}

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#4 Maca.... 2009-10-07 20:38

fijate que es lo mismo que hice yo en otro ejercicio (lo hice ayer ,mira 🙂[Resuelto] Ej de Dual)y que lo que dice Quimey no esta ,para nada en contradiccion ...en el sentido de que ambos tomamos funcionales como vectores de la base Dual ...en fin,en mi humilde opinion,la idea esta bien 🙂 ,saludos 🙂

#5 Maxtwo 2009-10-07 22:42

Sea $S \subseteq (\mathbb{R}^{3})^*$ $S=\{ \varphi \in \mathbb{R}^3 / \varphi (1,-1,2) = 0 \}$

Lo que yo pense fue:

Primero escribo la base del cual busco el dual:
Sea $B=\{(1,-1,2)(0,1,0)(0,0,1)\}$ base de $\mathbb{R}^{3}$ me armo la base dual $B^*=\{{\varphi}_{1},{\varphi}_{2},{\varphi}_{3}\}$ Con lo tipico de ${\varphi}_{i}(v_i)=1$.

Me busco la combinacion lineal del vector $(x,y,z)$ con la base $B$:
$(x,y,z)=a.(1,-1,2)+b.(0,1,0)+c.(0,0,1)=(a,-a+b,2a+c)$, es decir:

$$x=a$$

$y=b-a=b-x$ Entonces $x+y=b$, $z=2a+c=2x+c$ ie, $z-2x=c$. Por lo tanto vale que:

$$(x,y,z)=(x).(1,-1,2)+(x+y).(0,1,0)+(z-2x).(0,0,1)$$

Aplico las distintas funciones de mi base dual:

{\varphi}_{1}(x,y,z)=(x).{\varphi}_{1}(1,-1,2)+(x+y).{\varphi}_{1}(0,1,0)+(z-2x).{\varphi}_{1}(0,0,1)

{\varphi}_{2}(x,y,z)=(x).{\varphi}_{2}(1,-1,2)+(x+y).{\varphi}_{1}(0,1,0)+(z-2x).{\varphi}_{2}(0,0,1)

{\varphi}_{3}(x,y,z)=(x).{\varphi}_{3}(1,-1,2)+(x+y).{\varphi}_{1}(0,1,0)+(z-2x).{\varphi}_{3}(0,0,1)

Y utilizando las propiedades basicas de dual tenemos que:

{\varphi}_{1}(1,-1,2)=1

{\varphi}_{1}(0,1,0)=0

{\varphi}_{1}(0,0,1)=0

{\varphi}_{2}(1,-1,2)=0

{\varphi}_{2}(0,1,0)=1

{\varphi}_{2}(0,0,1)=0

{\varphi}_{3}(1,-1,2)=0

{\varphi}_{3}(0,1,0)=0

{\varphi}_{3}(0,0,1)=1

Por lo tanto:

{\varphi}_{1}=x

{\varphi}_{2}=x+y

{\varphi}_{3}=z-2x

Son las funciones de la base dual que buscamos: Ahora, las que necesitamos para $S$, son ${\varphi}_{2},{\varphi}_{3}$. Y nos queda que:

S=<{\varphi}_{2},{\varphi}_{3}>

#6 KillSchrodingerCat 2009-10-07 22:44

Maca.... escribió:

fijate que es lo mismo que hice yo en otro ejercicio (lo hice ayer ,mira 🙂[Resuelto] Ej de Dual)y que lo que dice Quimey no esta ,para nada en contradiccion ...en el sentido de que ambos tomamos funcionales como vectores de la base Dual ...en fin,en mi humilde opinion,la idea esta bien 🙂 ,saludos 🙂

Sisi 😄 No intenté decir que Quimey Contradecía la Def Tome como ṕunto de referencia tu post, y de ahí que me pareció bastante pavo este ejercicio. Es como lo básico me imagino. Entonces trate de resolverlo así y bueno, al fin y al cabo ${f_{1},f_{2}}$ es exactamente lo que te pide que es la base dual. Yo preguntaba si estaba bien encarar el ejercicio así de una, haciendo lo que hiciste en el ejercicio que citas.
Gracias !

Saludos...

Edit: Entren al chat ! 😄

#7 Maca.... 2009-10-08 01:49

jajajaj.espero que este bien lo que decis,si no,significara que no entendi nada de Dual
(seguro es asi ,pero bueno...)

#8 KillSchrodingerCat 2009-10-08 14:42

Erizo escribió:

Lo reconozco, no entiendo en lo más mínimo que es esto de la base dual.
Me dice algún alma bondadosa que lo que estoy haciendo está bien o mal (que supongo que está mal)

Dada la base B del K-espacio vectorial V, hallar su base dual en cada uno de los siguientes casos:
$V= \mathbb{R}^2 , B= \{(1,-1),(2,0)\}$
Bueno, lo único que entendí de todo esto es que se definen funciones evaluadas en un cierto vector como 1 o 0...
$$$f_1 (1,-1) = 1$$$ $$$f_1 (2,0) = 0$$$ $$$f_2 (1,-1)=0$$$ $$$f_2 (2-0)=1$$$
Y entonces la base dual sería $\{ (1,0),(0,1) \}$????

No entiendo :s

De yapa pregunto el 1):

Sea $S \subseteq (\mathbb{R}^{3})^3$ el subespacio $S=\{ \varphi \in \mathbb{R}^3 / \varphi (1,-1,2) = 0 \}$. Hallar una base de $S$

Se me ocurre, al igual que el primero, definir $f_i (1,-1,2) = 0$, ¿y luego?

Un saludo y gracias por todo

Creo que en tu resolución lo que pusiste como base dual no es otra cosa que la hermosa $E$ base canónica de $\mathbb{R}^2$

😄