Halo 🙂
Estoy intentando hacer entera la práctica, y me topé con este pequeño que no tengo tan claro como resolver, pero me suena a que es re bobo...
El ejercicio consiste en encontrar un sistema de generadores para este K-espacio vectorial:
$$\textrm{vii) }S_4 = \{f \in \mathbb{R}_4[X] / f(1) = 0\textrm{ y }f(2) = f(3)\}, K = \mathbb{R}$$
Lo que estoy pensando (asumendo que \(\mathbb{R}_4[X]\) son los polinomios con coeficientes menores o iguales a 4) es que tendría 5 vectores generadores si no tuviera restricciones, porque \(\forall\ p \in \mathbb{R}_4[X], \exists!\ \alpha_0, .., \alpha_4 / p = \sum_{i=0}^4 \alpha_i x^i\), ya que \((x^0, 0, .., 0), (0, x^1, 0, ..., 0), .., (0, ..., 0, x^n)\) es base de \(\mathbb{R}_n[X]\). Puedo considerar a \(f(1) = 0\textrm{ y }f(2) = f(3)\) como ecuaciones que tiene que cumplir mi espacio solución, y si fueran L.I. sabría que estoy buscando 3 vectores porque 5 - 2 = 3, pero no se me ocurre:
Como probar que esas dos condiciones son L.I. (a simple vista lo "creo", pero muy flojo)
Sabiendo que son L.I., como encontrar vectores que generen a este espacio
Estoy bastante flojo con E.V. de polinomios (leyendo el apunte de Jerónimo/Sabia/Tesauri - no habla demasiado detalladamente del tema) :s
Se aprecia cualquier data, gracias!
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Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.
Bueno, trato de ayudar. \(\mathbb{R}_{n}[X]\) son los polinomios de grado menor o igual que \(n\), y la base canónica es \(B=\{1,x,{x}^{2},\cdots ,{x}^{n}\}\) pues un polinomio \(p={a}_{0}+{a}_{1}x+\cdots +{a}_{n}{x}^{n}\) se escribe como combinación lineal de los elementos de \(B\), y estos coeficientes son los \({a}_{i}\). Son una base, porque generan y son l.i. En efecto, si:
$${b}_{0}+{b}_{1}x+\cdots +{b}_{n}{x}^{n}=0$$
te está diciendo la igualdad que el polinomio de la izquierda es el polinomio nulo. Esto solo puede ocurrir si todos los \({b}_{i}\) son \(0\). O sea... pensá que tenés una igualdad de polinomios, y por lo tanto, tienen los mismos coeficientes, las mismas raíces, como funciones son iguales, etc... todo esto lo tenés que usar a tu favor.
Las condiciones de problema las podés pensar como(si \(p={a}_{0}+{a}_{1}x+{a}_{2}{x}^{2}+{a}_{3}{x}^{3}+{a}_{4}{x}^{4}\)):
O sea... te queda un sistema de ecuaciones lineales. Sabés encontrar un sistema de generadores para este sistema... una vez que los halles, tenés que ''traducirlos'' a polinomios.
En lo profundo, lo que hacés es pensar a \(\mathbb{R}_{4}[X]\) como \(\mathbb{R}^{5}\), porque son isomorfos, esto es, hay transformación lineal biyectiva entre ambos(la que asigna a \({a}_{0}+{a}_{1}X+{a}_{2}{X}^{2}+{a}_{3}{X}^{3}+{a}_{4}{X}^{4}\mapsto ({a}_{0},{a}_{1},{a}_{2},{a}_{3},{a}_{4})\)). Esto te dice que podés resolver las cosas de polinomios pensándolos como vectores.A esto me refiero con traducir la información.
Perdoná FJL; no creo que ayude todo lo que dije mucho.
Saludos.
PD: le pasa algo al tex? no me lo visualiza, pero con el TeXnicCenter no me trae problema. Creo que tiene problemas con las {,}. Momento...
PD 2: gracias FJL! ahi quedó bien.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Esto hice yo:
Como quiero que \(f(1)=0\), entonces \(X-1|f\) (entonces \(f=(X-1)q\) con \(gr(q) \leq 3\))
Entonces \(f=(X-1)(aX^3+bX^2+cX+d)=ax^4+(b-a)X^3+(c-b)X^2+(d-c)X-d\)
Luego \({S}_{4}=<X^4-X^3-46X+46,X^3-X^2-14X+14,X^2-5X+4>\)
Ah, y el ejercicio te pide un sistema de generadores, no hace falta que sean L.I.
Igualmente lo son porque son polinomios de distinto grado.
Otra forma:
Podés usar Lagrange. Tenés
$$f(1)=0$$
$$f(2)=a$$
$$f(3)=a$$
$$f({x}_{1})={y}_{1}$$
$$f({x}_{2})={y}_{2}$$
\(a, {x}_{1}, {x}_{2}, {y}_{1}, {y}_{2}\) números arbitrarios, \({x}_{1}\) y \({x}_{2}\) distintos de \(1,2\) y \(3\) y distintos entre sí.
Asi sale, pero con demasiadas cuentas para mi gusto
Ok Sofia me volaste la cabeza. Sirvió Álgebra I aparentemente O_O En algún momento de mi vida tenía que poder usar el polinomio interpolador de Lagrange...también genial, nunca se me hubiera ocurrido pero tiene mucho sentido lo de usar divisiblidad de polinomios.
A ver, intento de la forma que sugirió Exe:
Se que f(2) = f(3), y f(1) = 0.
También se que \(f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4\).
Voy a considerar a este polinomio como la 5-tupla \((a_0, a_1, a_2, a_3, a_4)\). Entonces yo se que
\(f(1) = a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 0\) y que \(a_0 + 2a_1 + 4a_2 + 8a_3 + 16a_4 - (a_0 + 3a_1 + 9a_2 + 27a_3 + 81a_4) = 0\), osea \(-a_1 -5a_2 -19a_3 - 65a_4 = 0\).
Esto lo puedo pensar como la matriz
, y estoy resolviendo el sistema \(Ax = 0\). Como está triangulado, son L.I. (esto prueba mi hipótesis infundada de antes). También tiene sentido resolver un sistema donde una solución sea el \(\overrightarrow{0}\), porque quiero que mi espacio de soluciones sea un espacio vectorial.
Resolviendo el sistema, tengo que (como dijo Sofi) \(a_0 = -a_1 - a_2 - a_3 - a_4\), y \(-a_1 -5a_2 -19a_3 -65a_4=0 \iff a_1=-5a_2-19a_3-65a_4\). Juntando los dos tengo que \(a_0 = -(-5a_2 - 19a_3-65a_4) -a_2 - a_3 - a_4 = 4a_2 + 18a_3 + 64a_4\)Entonces todo elemento de mi conjunto de soluciones se puede escribir como \((4a_2 + 18a_3 + 64a_4, -5a_2-19a_3-65a_4, a_2, a_3, a_4)\), o sea \(a_2(4, -5, 1, 0, 0) + a_3(18, -19, 0, 1, 0) + a_4(64, -65, 0, 0, 1)\), osea que un conjunto de generadores es \(\{(4, -5, 1, 0, 0), (18, -19, 0, 1, 0), (64, -65, 0, 0, 1)\}\).
Como estos son los coeficientes de mis polinomios, y usando que \(\mathbb{R}^5\) es isomorfo a \(\mathbb{R}_4[X]\), un conjunto de generadores de este espacio es: \(\{4 - 5x + x^2, 18 - 19x + x^3, 64 - 65x + x^4\}\)
La pifié en alguna parte?
Lo que yo llamé \({x}_{1}\) y \({x}_{2}\), son números arbitrarios reales (\({x}_{1}, {x}_{2}\) distintos de \(1,2\) y \(3\) y distintos entre sí) y los números \(a, {y}_{1}\) e \({y}_{2}\) son los parámetros, que van a determinar que el subespacio tenga dimensión 3 (a estas "variables" no puedo asignarles valores).
