Sea \(f:{\mathbb{C}}^{n }\rightarrow {\mathbb{C}}^{n}\) una tranformación lineal. Probar que existe una base \(B\) de \({\mathbb{C}}^{n}\) tal que \({|f|}_{B}\) es triangular superior.
Tema
[No resuelto] Práctica 6 Ej:16)
Demostración...
Sea \(\chi_f\) el polinomio característico. Como estamos en los complejos, este tiene necesariamente una raíz. Esa raíz es un autovalor, por lo tanto existe al menos un autovector, digamos \(v_1\) [notar que si la matriz es triangular superior en la base, el primer vector debe ser una autovector]. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que este autovalor no es cero (¿qué pasa si todos los autovalores son cero?). Tomemos \(B_1\) una base, cuyo primer vector es \(v_1\), y el resto \(w_2, \ldots, w_n\). En esa base, nuestra matriz será de la forma
$$\begin{pmatrix} \lambda_1 & a_2 & \ldots & a_n \\ 0 & \ddots & {} & {} \\ \vdots & {} & M & {} \\ 0 & {} & {} & \ddots. \end{pmatrix}$$
En particular, si \(W\) es el espacio generado por todos los vectores de la base salvo el primero, \(M\) es la matriz de una transformación lineal de \(W\) en \(W\). Por inducción (la dimensión de \(W\) es más chica), hay una base de \(W\) en la que \(f_M\) es triangular superior. Completamos \(v_1\) con esa base, y listo.
Mil gracias Yossarian!!. No sabés el tiempo que estuve y nada. Espero que me ilumine mañana.
no entiendo como podes asegurar que la \(f_M\) va de \(W\) en \(W\)...
que pasa si \(W\) no es invariante por \(f_M\)?
va de W en W por definición. La definiste en una base
Firma
Quimey
gracias