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[NO RESUELTO] Practica 8 Ejercicio 7 (?)

2 respuestas 4010 visitas 2009-08-03

#1 laejl 2009-08-03 22:03

Dice así:

Sea A $\in{\mathbb{R}^{nxn}}$ una matriz sim\'etrica. Probar que la forma bilineal que tiene A como matriz en la base can\'onica es definida negativa si y s\'olo si los signos de los menores principales de A van altern\'andose comenzando por un signo menos.

La pregunta del millón.... A qué se refiere con menores principales? 🙁

Firma

http://imgs.xkcd.com/comics/command_line_fu.png

#2 exequiel131719 2009-08-04 00:42

Escribirlo no es tan molesto, pero un ejemplo visual es mejor(y más fácil de escribir, tal vez...)
Si

A\eq=\begin{pmatrix}1 & 0 & 3 & 1\2 & 2 & 4 & -1\0 & 0 & 0 & 3\-1 & -5 & -8 & 1\end{pmatrix}

, los menores principales de \(A\) son los determinantes:
\(\det (1)\)(la matriz de \(1\times 1\) 1)

\det(\begin{pmatrix} 1 & 0\\2 & 2\end{pmatrix}

\det(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3\\2 & 2 & 4\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}

\det(\begin{pmatrix}1 & 0 & 3 & 1\\2 & 2 & 4 & -1\\0 & 0 & 0 & 3\\-1 & -5 & -8 & 1\end{pmatrix})\eq=\det(A)

Fijate si queda claro ahora quiénes son los menores principales.

Firma

I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities

#3 laejl 2009-08-05 00:37

Bueno, siguiendo la idea de la demostración de un criterio del apunte.... =&gt😉
Sea \(B = \{v_{1}, v_{2}, ..., v_{n}\}\) y \(A = (a_{ij}) 1 \leq i,j \leq n \, \in{\mathbb{R}^{nxn}}}\) la matriz de \(\phi\) una forma bilineal simétrica \(\phi : V\mathbf{x}V \rightarrow \mathbb{R}\)
Vamos a usar inducción. Para n=1 vale.
Supongamos que \(\phi\) es definida negativa y la proposición es válida en \(n-1\).
Luego podemos diagonalizar A:

\begin{pmatrix}1 & 0 & \cdots & 0\\-\frac{a_{12}}{a_{11}} & 1 & & \vdots\\\vdots & 0 & \ddots & 0\\-\frac{a_{1n}}{a_{11}} & 0 & \cdots & 1\end{pmatrix} A \begin{pmatrix}1 & -\frac{a_{12}}{a_{11}} & \cdots & -\frac{a_{1n}}{a_{11}}\\ 0 & 1 & & 0\\\vdots & 0 & \ddots & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_{11} & 0 & \cdots & 0}\\ 0 & & & \\\vdots & & M & \\ 0 & & & \end{pmatrix}

Luego - dice la demostración del apunte - es fácil (?) ver que estas operaciones no cambian los menores principales. A propósito, como \(\phi\) es definida negativa se tiene que \(a_{11} = \phi(v_{1}, v_{1}) < 0\) Luego el \(D_{1}(A)\) (léase el primer menor de A) es negativo. Por otro lado, \(D_{i}(A)\) o sea el i-ésimo menor principal de A, se obtiene multiplicando \(a_{11}*D_{i-1}(M)\) por desarrollo del determinante por la primera fila de A. Como \(a_{11} < 0\) y en M, el signo del \(D_{j}(M) = -1^{j}\) se ve que el signo de \(D_{i}(A)\) es \((-1)*(-1)^{i-1}=(-1)^{i}\). Luego los signos de los menores principales van alternando empezando por -1.

<=)
Inducción en n.
Para \(n=1\) vale.
Supongamos que \(n > 1\) y que el resultado vale para \(n - 1\)
Sabemos que la matriz A se puede diagonalizar y queda en la misma forma que escribí arriba:

\begin{pmatrix}a_{11} & 0 & \cdots & 0}\\ 0 & & & \\\vdots & & M & \\ 0 & & & \end{pmatrix}

Consideremos el subespacio \(S = <v_{2} -\frac{a_{12}}{v_{11}}, ... , v_{n} -\frac{a_{1n}}{v_{11}}>\) y la base \(B_{S} = \{v_{2} -\frac{a_{12}}{v_{11}}, ... , v_{n} -\frac{a_{1n}}{v_{11}}\}\), entonces \(M = |\phi_{|SxS}|_{B_{S}}\) Por hipótesis inductiva, \(\phi{}_{|SxS}\) es definida negativa. Luego existe alguna base \(B'\) tal que

{|\phi{}_{|SxS}}|}_{B'} = - I_{n-1}

{|\phi{}|}_{B'} = \begin{pmatrix}a_{11} & 0 & \cdots & 0}\\ 0 & -1 & & \\\vdots & & \ddots & \vdots\\ 0 & \cdots & 0 & -1\end{pmatrix}

Donde \(a_{11} < 0\). De esto se deduce que \(\phi\) es definida negativa.

Está bien? Cosas para cambiar? Me creo que los menores no cambian.. pero no veo por qué... alguna idea para demostrar que los menores no cambian?