Este ejercicio a veces se da en la teórica. De cualquier manera, te digo la idea:
Vamos a usar el Teorema de Hamilton-Caley. En realidad no es necesario, pero nos va a permitir eliminar todo de una. Primero, sabés que dada una base \(B\) y un vector \(v\) de tal base, el minimal de \(v,{m}_{v}\) verifica que \({m}_{v}|{m}_{A}\), donde \({m}_{A}\) es el minimal de \(A\). Por otro lado, el teorema de Hamilton-Caley nos dice que \({m}_{A}|\mathcal{X}_{A}\), el característico de \(A\). Por último, sabemos que el grado de \(\mathcal{X}_{A}\) es \(n\), el tamaño de la matriz. En virtud que todos los polinomios involucrados son mónicos, si probamos que existe un vector \(v\) tal que \({m}_{v}\) tiene grado \(n\), entonces concluiremos por la cadena de relaciones que \({m}_{v}\eq={m}_{A}\eq=\mathcal{X}_{A}\). Veamos si ocurre.
Consideremos \(v\eq={e}_{1}\), y calculamos \(Av,{A}^{2}v,\cdots\). Si observamos bien, esa cuenta sucesiva van siendo cada vez la columna que sigue, o sea:
$$Av\eq={e}_{2}$$
$${A}^{2}v\eq={e}_{3}$$
.
$${A}^{n-1}v\eq={e}_{n}$$
Como \(\{{e}_{1},\cdots ,{e}_{n}\}\) es linealmente independiente(es la base canónica) concluímos que \(\{v,Av,\cdots ,{A}^{n-1}v\}\). Por tener dimensión \(n\) la matriz, deducimos que \(\{v,Av,\cdots ,{A}^{n-1}v,{A}^{n}v\}\) es l.d, vale decir, existen \({\alpha}_{i}\in K\) tales que:
Y por tener SIEMPRE coef. de grado n no nulo, por todo lo anterior deducís \({m}_{v}\eq={m}_{a}\eq= \mathcal{X}_{A}\eq={x}^{n}+{a}_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +{a}_{1}x+{a}_{0}\)
PD: esta matriz tiene nombre, matriz asociada al polinomio si recuerdo bien...
Espero que sirva. Saludos
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
