Que tal, regreso al foro luego de unos cuantos meses....
Ejercicio 12 de la práctica de Diagonalización.
$$i)$ Sea $A\in \mathbb{R}^{3x3} $ diagonalizable con $ tr(A) = -4 $ . Calcular los autovalores de A, sabiendo que los autovalores de $ A^{2}+2A $ son -1, 3 y 8.$$$
También sé que:
$$A\in \mathbb{C}^{n x n} \lambda_{1}$, $\lambda_{2}$, ..., $\lambda_{n} $ son ra$\'i$ces de $\chi_{A} $ contadas con multiplicidad entonces $ tr(A) = {\sum_{i=1}^{n}{\lambda_{i}}}$$
Observá que como tu matriz \(A\) es diagonalible, entonces existe \(C\) inversible tal que \(CD{C}^{-1}\eq=A\), con \(D\) diagonal. Entonces, dado un polinomio \(p\in \mathbb{C}[X],\;p\eq=\sum_{i\eq=0}^{n}{b}_{i}{x}^{i}\), tenés que(\({A}^{0}\eq=I\)):
Esto te dice quiénes son los autovalores de \(p(A)\), al ser \(p(D)\) una matriz diagonal(dado que es suma de matrices diagonales): \(\lambda\) es autovalor de \(p(A)\) si existe \(w\) autovalor de \(A\) tal que \(p(w)\eq=\lambda\)
De esto, concluís que, si los autovalores de \({A}^{2}+2A\) son \(-1,3,8\), entonces, en cada caso, debe existir \(x\) autovalor de \(A\) tal que
(1)\({x}^{2}+2x\eq=-1\iff {x}^{2}+2x+1\eq=0 \iff {(x+1)}^{2}\eq=0\iff x\eq=-1\)
(2)\({x}^{2}+2x\eq=3\iff {x}^{2}+2x-3\eq=0\iff x\eq=1\lor x\eq=-3\)
(3)\({x}^{2}+2x\eq=8\iff {x}^{2}+2x-8\eq=0\iff x\eq=2\lor x\eq=-4\)
Ahora usás que la traza de una matriz es la suma de los autovalores(contados con multiplicidad) de la matriz. Sabés garantizado que \(-1\) es autovalor. Mirás las posibilidades(estoy sumando autovalores. Elijo uno de (2) y uno de (3) ):
$$-1+1+2\eq=2$$
$$-1+1-4\eq=-4$$
$$-1-3+2\eq=-2$$
$$-1-3-4\eq=-8$$
La única posibilidad es la segunda, teniendo por autovalores \(A,\;-1,1-4\)
La verdad que no se si conseguí ser claro. Creo que no. Saludos.
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Te agradezco mucho Exequiel, te agradecería mucho si me podés aclarar estas dudas:
exequiel131719 escribió:
...
Esto te dice quiénes son los autovalores de \(p(A)\), al ser \(p(D)\) una matriz diagonal(dado que es suma de matrices diagonales): \(\lambda\) es autovalor de \(p(A)\) si existe \(w\) autovalor de \(A\) tal que \(p(w)\eq=\lambda\)
...
Cómo deduciste esto??? 😮 No lo veo tan claro y no lo encuentro en mis apuntes. 😐
No entiendo por qué el cambio \(a_{i}\) por \(b_{i}\)
Gracias!!!
EDIT: Qué hacés a las 5 de la mañana respondiendo en el foro???? Ok, yo pregunté a las 2.00 pero a las 5........!!!!!!!!! De todos modos, se agradece mucho, voy a ver si puedo remontar lineal con estas vacaciones porcinas 😆
La parte en la que cambié \({a}_{i}\) por \({b}_{i}\) debe ser consecuencia de la hora; debía ir u \({b}_{i}\). Con respecto a lo otro, quedó que \(p(A)\eq=Cp(D){C}^{-1}\). Ahora, \(p(D)\eq=\sum_{i\eq=0}^{n}{b}_{i}{D}^{i}\), o sea, es suma de potencias de matrices diagonales. Entonces, es diagonal. Ahora, \(Cp(D){C}^{-1}\) nos está diciendo que \(p(A)\sim p(D)\) y más aún, como \(p(D)\) es diagonal, que es diagonalizable y sus autovalores están en la diagonal de \(p(D)\). Luego fijate que si \({(D)}_{ii}\eq={\lambda}_{i}\), tenés que:
