Te basta con definirla sobre una base, y que la matriz sobre esa base sea simétrica. Tomá \(B\eq=\{(1,2,1),(1,1,1),(0,0,1)\}\)(extendí la base, tomando los vectores de los que tengo información). Que esté en el núcleo de la forma bilineal, quiere decir que \(\phi ((1,2,1),v)\eq=0,\forall v\). Ahora, tenés ya como datos:
$$\phi ((1,2,1),(1,2,1))\eq=0$$
$$\phi ((1,2,1),(1,1,1))\eq=0$$
$$\phi ((1,2,1),(0,0,1))\eq=0$$
Por simetría, también deberán valer:
$$\phi ((1,1,1),(1,2,1))\eq=0$$
$$\phi ((0,0,1),(1,2,1))\eq=0$$
Se pide \(\phi ((1,1,1),(1,1,1))<0\), por ejemplo \(\phi ((1,1,1),(1,1,1))\eq=-1\). Ahora eligiendo valores oportunos(notá que no queremos más vectores en el núcleo), por ejemplo:
\(\phi ((1,1,1),(0,0,1)\eq=-1\) y por simetría entonces \(\phi ((0,0,1),(1,1,1))\eq=-1\).
Esta matriz es simétrica, luego es una forma bilineal. Verifica \(\left \langle (1,2,1) \right \rangle \subseteq Nu (\phi )\) y como el rango de la matriz es 2, por dimensión se tiene \(\left \langle (1,2,1) \right \rangle \eq= Nu (\phi)\). O sea, verifica todo lo pedido. Ahora hay que escribirlo en la base canónica. Es hacer el cambio de base, trasponer y multiplicar.
Espero que sirva. Saludos
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities