sea \(f: \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^4\) la tl dada por \(f(x_1, x_2,x_3,x_4)=(x_1-x_4,x_1,-2x_2-x_3-4x_4,4x_2+x_3)\)
descomponer a \(\mathbb{R}^4 = S \oplus T\)con \(S\) \(T\) \(f\)-invariantes no nulos.
no lo voy a resolver pero pongo la idea porque es algo que no creo que se lo acuerden muchos(salvo que tenga la carpeta al lado, como me paso a mi).lo estuvimos pensando con agustin y llegamos a esto.
si calculan el polinomio caracteristico queda \((x^2+2)(x^2+1)\) con lo cual las raices estan en \(\mathbb{C}\) asique no vamos a poder reslverlo usando autovectores. entonces hay que recordar el siguiente lema
Ses \(f: V \rightarrow V\) t.l. tal que \(m_f=Q(x)P(x)\)
con \(P(x),Q(x) \in\mathbb{R}[x]\) coprimos y monicos de grado mayor a cero, entonces
- \(Nu(P(f)) y Nu(Q(f))\) son \(f\)-invariantes
- \(Nu(P(f)) \oplus Nu(Q(f)) =V\)
- \({m_f }_{|Nu(P(f))}=P\) y \({m_f }_{|Nu(Q(f))}=Q\) entonces lo que tienen que calcular son esos subespacios y sale.