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1 recuperatorio del 2 parcial-1 cuatrim. 2007, ejercicio 12

0 respuestas 3676 visitas 2008-12-08

#1 exequiel131719 2008-12-08 21:33

\(V\) un \(K\)-espacio vectorial, de dimensión finita \(n\), y \(T\in \End(V)\) una transformación lineal diagonalizable.
a)si \(T\) tiene un vector cíclico, entonces todos los autovalores son distintos.
b)si \(\{{v}_{1},\cdots ,{v}_{n}\}\) es una base de autovectores(de autovalores todos distintos entre si), entonces \({v}_{1}+{v}_{2}+\cdots +{v}_{n}\) es un vector cíclico.
Nota: un vector \(v\in V\) se dice cíclico si \(\{v,T(v),\cdots ,{T}^{n-1}(v)\}\) es una base de \(V\)
a) Sea \(v\) el vector cíclico, luego, tenemos la base \(B\eq=\{v,T(v),\cdots ,{T}^{n-1}(v)\}\) de \(V\), y podemos escribir \(f\) en su matriz a partir de acá. Sin embargo, notemos, primero, que el hecho que \(v\) sea un vector cíclico, está diciendo que \({m}_{v}\), minimal de \(v\), tenga grado \(n\). En efecto, el conjunto \(B\) es l.i, con lo que nos dice que:
\({T}^{n-1}(v)+{a}_{n-2}{T}^{n-2}(v)+\cdots +{a}_{1}T(v)+{a}_{0}v\eq=0\implies {a}_{i}\eq=0,\forall i\). O sea, ningún polinomio mónico de grado \(n-1\), \(m\eq={X}^{n-1}+{a}_{n-2}{X}^{n-2}+\cdots +{a}_{1}X+{a}_{0}\) satisface\(m(T(v))\eq=0\). Esto nos dice que el minimal de \(v\) tiene grado al menos \(n\). Pero la dimensión de \(V\) es \(n\), siguiendo que necesariamente el minimal de \(v\) tiene grado \(n\)(o sea, estoy usando que \(\{v,T(v),\cdots ,{T}^{n-1}(v),{T}^{n}(v)\}\) necesariamente debe ser l.d, por tener \(n+1\) elementos).
Ahora, sabemos que \({m}_{v}|{m}_{T}|\mathcal{X}_{T}\), donde \({m}_{T}\) es el minimal de \(T\). Pero \(gr(\mathcal{X}_{T})\eq=n\), siguiendo, por ser todos los polinomios mónicos, que \({m}_{v}\eq={m}_{T}\eq=\mathcal{X}_{T}\)
Ahora, como \(T\) es diagonalizable, debe factorizarse linealmente \({m}_{T}\) con todas sus raíces simples. Como el grado de \({m}_{T}\) es \(n\), resulta que debe tener \(n\) raíces distintas, pero estas raíces son los autovalores de \(T\), con lo que \(T\) tiene \(n\) autovalores distintos. Pero \(T\in \End(V)\), y \(dim(V)\eq=n\), siguiendo que todos los autovalores de \(T\) son distintos
b)Veamos(la belleza de las Vandermonde... me vienen salvando la vida numerosas ocasiones), estoy usando que \({k}_{i}\) es el autovalor asociado a \({v}_{i}\) de \(T\):

\begin{cases}{v}_{1}+{v}_{2}+\cdots {v}_{n}\eq={w}_{1} \\ T({v}_{1}+{v}_{2}+\cdots +{v}_{n})\eq=T({v}_{1})+T({v}_{2})+\cdots + T({v}_{n})\eq={k}_{1}{v}_{1}+{k}_{2}{v}_{2}+\cdots {k}_{n}{v}_{n}\eq={w}_{2}\\ \vdots \\{T}^{n-1}({v}_{1}+{v}_{2}+\cdots +{v}_{n})\eq={T}^{n-1}({v}_{1})+{T}^{n-1}({v}_{2})+\cdots + {T}^{n-1}({v}_{n})\eq={{k}_{1}}^{n-1}{v}_{1}+{{k}_{2}}^{n-1}{v}_{2}+\cdots {{k}_{n}}^{n-1}{v}_{n}\eq={w}_{n}\end{cases}

De ser \({v}_{1}+{v}_{2}+\cdots {v}_{n}\) un vector cíclico, el conjunto \(\{{w}_{1},{w}_{2},\cdots ,{w}_{n}\}\) debe ser linealmente independiente. Veamos que es así... queremos estudiar:

{a}_{1}{w}_{1}+{a}_{2}{w}_{2}+\cdots {a}_{n}{w}_{n}\eq=0

Reemplazando por lo anterior escrito(qué es cada \({w}_{i}\)), y reordenando adecuadamente, nos queda:

({a}_{1}+{a}_{2}{k}_{1}+{a}_{3}{{k}_{1}}^{2}+\cdots +{a}_{n}{{k}_{1}}^{n-1}){v}_{1}+({a}_{1}+{a}_{2}{k}_{2}+{a}_{3}{{k}_{2}}^{2}+\cdots +{a}_{n}{{k}_{2}}^{n-1}){v}_{2}+\cdots + ({a}_{1}+{a}_{2}{k}_{n}+{a}_{3}{{k}_{n}}^{2}+\cdots +{a}_{n}{{k}_{n}}^{n-1}){v}_{n}\eq=0

Como \(\{{v}_{1},\cdots ,{v}_{n}\}\) es una base de \(V\) se concluye:

\begin{cases} {a}_{1}+{a}_{2}{k}_{1}+{a}_{3}{{k}_{1}}^{2}+\cdots +{a}_{n}{{k}_{1}}^{n-1}\eq=0 \\{a}_{1}+{a}_{2}{k}_{2}+{a}_{3}{{k}_{2}}^{2}+\cdots +{a}_{n}{{k}_{2}}^{n-1}\eq=0\\ \vdots \\{a}_{1}+{a}_{2}{k}_{n}+}{a}_{3}{{k}_{n}}^{2}+\cdots +{a}_{n}{{k}_{n}}^{n-1}\eq=0\end{cases}

Luego, tenemos la matriz del homogéneo:

\begin{pmatrix} 1 & {k}_{1} & \cdots & {{k}_{1}}^{n-1}\\ 1 & {k}_{2} & \cdots {{k}_{2}}^{n-1}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\1 & {k}_{n} & \cdots & {{k}_{n}}^{n-1}\end{pmatrix}\eq=A

Pero resulta, que si transponemos(el determinante se conserva) \(A\), tienen \({A}^{t}\), la matriz de Vandermonde:

\begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1\\ {k}_{1} & {k}_{2} & \cdots & {k}_{n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ {{k}_{1}}^{n-1} & {{k}_{2}}^{n-1} & \cdots & {{k}_{n}}^{n-1}\end{pmatrix}\eq={A}^{t}

Y este determinante es distinto de \(0\) si y sólo si todos los \({k}_{i}\) son distintos, que por hipótesis, son los autovalores y son todos distintos. Sigue que \({a}_{1}\eq={a}_{2}\eq=\cdots {a}_{n}\eq=0\), o sea, sigue la independencia lineal de \(\{{w}_{1},\cdots ,{w}_{n}\}\), o sea, \({v}_{1}+\cdots {v}_{n}\) es un vector cíclico, como queríamos probar. Fin Espero haber sido claro y ayudado. Saludos.

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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities