1)Sea\(A \in GL(n,\mathbb{C})\), tal que A^2 es diagonalizable. Probar que \(A\) es diagonalizable.
Sea \(m_{A^2}=x^j+a_{j-1}x^{j-1}+....+a_1x+a_0\) el polinomio minimal de \(A^2\). Como \(A \in GL(n,\mathbb{C}) a_0 \not= 0\)(en caso contrario 0 seria autovalor de \(A\) lo que contradice el hecho de que sea inversible)
Como\(A^2\) es diagonalizable, \(m_{A^2}\) tiene todas sus raices simples y como estamos en \(\mathbb{C}\) se factoriza linealmente.
consideremos el polinomio \(q(x)=x^{2j}+a_{j-1}x^{2(j-1)}+....+a_1x^2+a_0\) , este polinomio anula a la matriz \(A\) por lo tanto \(m_A| q(x)\)
Veamos que q(x) tiene todas sus raices simples.
sean \(\alpha_1....\alpha_j\) las raices de \(m_A^2\) con \(\alpha_i\not= \alpha_j\)con \(i\not=j\)
sean \(p_i,p'_i\) las racies de \(x^2-\alpha_i\) estas racies son distintas porque este polinomio y su derivado son coprimos, ya que la unica raiz de su derivado es \(0\) y \(0\) no es raiz de este polinomio ya que \(\alpha_i\not=0\) Se comprueba facil que \(p_i,p'_i\) son raices de \(q(x)\)y ademas son todas porque en total tengo \(2j\) raices.
\(p_i\not=p_j i\not=j\) ya que si eso no pasara, elevando al cuadrado llegariamos a que \(\alpha_i=\alpha_j\). Por lo tanto q(x) tiene todas sus raices simples y se factoriza liealmente en \(\mathh{C}\) y como \(m_A| q(x)\) podemos concluir que \(m_A\)tiene todas sus raices simples y por lo tanto \(A\) es diagonalizable.
espero sirva este aporte.
suerte.