[Resuelto]1ºrecup. 1 parcial, 1º cuatr. 2007, ejercicio 4

Sea \(A\in \mathbb{C}^{n\times n}\) tal que \({A}^{2}\eq=A\). Probar que \(rg(A)\eq=tr(A)\)
Bueno, últimamente vengo flojo con los ejercicios, y me tiro a los más cortos... para resolver este ejercicio rápidamente, voy a usar un resultado, y es que todo proyector \(f:{K}^{n}\rightarrow {K}^{n}\) admite una base \(B\) de \({K}^{n}\)(puntualmente \(B\eq=\{{w}_{1},{w}_{2},...,{w}_{s},{w}_{s+1},...,{w}_{n}\}\), con \(\{{w}_{i}\}_{1\leq i\leq s}\) base de \(Im(f)\), y \(\{{w}_{i}\}_{s+1\leq i\leq n}\), base de \(Nu(f)\). Esto vale porque al ser un proyector, \(Nu(f)\oplus Im(f)\eq={K}^{n}\)), tal que \({|f|}_{B}\) es una matriz que tiene todos \(0\), salvo en la diagonal, que tiene \(1\) hasta la columna \(s\)-ésima, y luego todos \(0\)(disculpen; quise construir la matriz, para que se vea bien, pero me quedaba horrible... traten de construirla con la base que puse. Igual, en el próximo edit, de existir, agregaré la matriz...). Bueno, ahora al problema.
Como \(A\) verifica que \({A}^{2}\eq= A\), resulta, que si tomamos la transformación lineal \({f}_{A}(v)\eq=A\cdot v\), al aplicar \({{f}^{2}}_{A}(v)\eq=A\cdot (A\cdot v)\eq= {A}^{2}\cdot v\eq= A\cdot v\eq= f(v)\). O sea, \(f\) es un proyector. Luego, por lo anterior esbozado, \(A\) es semejante a una matriz \(C\), que tiene todos \(1\) en la diagonal, hasta cierta columna \(s\), y luego todos 0(esto se debe a que dos matrices \(A,\;C\) son semejantes si y sólo si existen bases \(B,B'\) de \({C}^{n}\), y \(f:{C}^{n}\rightarrow {C}^{n}\) tales que \({|f|}_{B}\eq= A,\;{|f|}_{B'}\eq=C\)). Luego, además por ser matrices semejantes, \(rg(A)\eq=rg(C)\). Pero por la construcción de \(C\), tenemos en las columnas los vectores de la base canónica de \({C}^{n}\), \((1,0,\cdots, 0), (0,1,\cdots,0),...\). Como tenemos \(s\) columnas no nulas, resulta que tenemos \(s\) de tales vectores, y dado que son todos linealmente independientes, tenemos tantos como columnas no nulas hay, y como en la diagonal tenemos tantos \(1\) como vectores, resulta que \(tr(C)\) es la cantidad de vectores l.i. Finalmente, además esta cantidad indica el rango de \(C\). O sea, \(rg(C)\eq=tr(C)\). Como \(C\) y \(A\) son semejantes, tenemos que \(rg(A)\eq=rg(C)\eq=tr(C)\eq=tr(A)\)(matrices semejantes tienen igual traza), como queríamos ver.
Espero no haber confundido más... sepan disculpar, si es posible, la desprolijidad propia de la hora... para entender mejor la idea, es conveniente dibujar la matriz \(C\); quise evitar ser excesivamente formal, y el resultado es este desastre. Ahora si, saludos, y suerte en el parcial

PD: ¿suerte? en otro post hice referencia al mal uso de esta palabra, y ahora acudo al significado que refuté. Quise decir, éxitos para todos en el parcial.