Sea \(V\) un \(K\)-espacio vectorial, \(f,g,h\in {V}^{\ast}\). Demostrarque la transformación lineal \(T:V\rightarrow {K}^{3}\) definida por \(T(v)\eq=(f(v),g(v),h(v))\) es un epimorfismo si y sólo si el conjunto \(\{f,g,h\}\) es linealmente independiente.
No se que hago posteando a esta hora... pero bueno. Notemos que para la ida, tenemos por hipótesis que \(T\) es un epimorfismo(tendría que probar que es una transformación lineal, pero el hecho de que cada coordenada sea una transformación lineal asegura esto último), o sea, \(Im(T)\eq={K}^{3}\). Luego, si tomáramos una base \(B\) de \(V\), existirían \({v}_{1},{v}_{2},{v}_{3}\in B\) tales que \(\{T({v}_{1}),T({v}_{2}),T({v}_{3})\}\) es linealmente independiente. Pero entonces \(\{(f({v}_{1}),g({v}_{1}),h({v}_{1})),(f({v}_{2}),g({v}_{2}),h({v}_{2})),f({v}_{3}),g({v}_{3}),h({v}_{3}))\}\) es linealmente independiente. Luego, si planteamos la combinación:
\(af+bg+ch\eq=0\), especializamos en \({v}_{1},{v}_{2},{v}_{3}\) respectivamente, y nos queda el sistema de matriz asociada:
Como sabemos que las filas de la matriz son linealmente independientes, resulta que \(rg(A)\eq=3\), y por ser una matriz cuadrada, tiene solo la solución trivial \((a,b,c)\eq=(0,0,0)\implies \{f,g,h\}\) es linealmente independiente.
Para la vuelta, es la misma historia. En efecto, al ser \(\{f,g,h\}\) linealmente independiente, resulta que \(af+bg+ch\eq=0\implies (a,b,c)\eq=(0,0,0)\). Como \({V}^{\ast}\) tiene un subconjunto de dimensión \(3\), resulta que \(V\) también. Luego, sea \(\{{v}_{1},{v}_{2},{v}_{3}\}\) tal conjunto linealmente independiente de \(V\). Al especializar en cada vector, queda la misma matriz de antes, \(A\)(en realidad, no la misma. Me refiero a que queda una matriz del mismo estilo), y como por hipótesis solo la solución trivial \((a,b,c)\) es solución de tal sistema, al ser \(\{f,g,h\}\) linealmente independiente, resulta que las filas de \(A\) son l.i. Pero tales filas son de la forma \({(f({v}_{1}),g({v}_{1}),h({v}_{1})),(f({v}_{2},g({v}_{2},h({v}_{2})),f({v}_{3}),g({v}_{3}),h({v}_{3})\eq=\{T({v}_{1}),T({v}_{2}),T({v}_{2})\}\), o sea, tenemos \(\{T({v}_{1}),T({v}_{2}),T({v}_{3})\}\subseteq {K}^{3}\), y como \(dim\{T({v}_{1}),T({v}_{2}),T({v}_{3})\}\eq=3\eq={dim}_{K}({K}^{3})\), concluímos que \(Im(T)\eq={K}^{3}\), lo que significa que \(T\) es un epimorfismo.
Espero haber aclarado... no creo que ayude a esta hora mucho... pero bueno. Nuevamente, saludos, y que vaya bien en el parcial
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities