duda ej 7 adicionales

Sea B una base de \(\mathbb{R}_4\) y sea \(B^*=(\phi_1, \phi_2, \phi_3, \phi_4)\) su base dual. Sean \(v_1, v_2, v_3, v_4 \in \mathbb{R}_4\) tales q:

a) \((v_1)_B = (1, -2, -3, 1), (v_2)_B = (1, 0, -1, 1)\)
b) \(< v_3, v_4 >^0 = < \phi_1 + \phi_2 - 3\phi_3 , \phi_2 - 2\phi_4>\)

Calcular dim \(< v_1, v_2, v_3 , v_4 >\)

A mi se me ocurrio lo siguiente:

Por definicion \((v)_B = ( \phi_1 (v),..., \phi_n (v) )\) .Entonces lo q yo hice para calcular \(< v_1>^0\) y \(< v_2 >^0\) fue:

\(<v_1>^0 = \alpha - 2\beta - 3\gamma + \epsilon = 0\). Aca despeje una en funcion de las demas y me quedo un anulador de \(v_1\) de dimension 3. Hice lo mismo con \(v_2\), donde me quedo otro anulador de dimension 3; sume los dos anuladores para calcular \(< v_1 , v_2 >\) y me quedo de dimension 4. Luego calcule \(< v_1, v_2, v_3, v_4 >^0\) y me quedo nuevamente de dimension 4 y finalmente por teo de dimension me queda q \(< v_1, v_2, v_3, v_4 >\) tiene diemension 0 lo q es ABSURDO!!!!!

Claramente hice algo mal, pero no veo q es...alguien lo hizo??? a alguien se le ocurre q hacer????

graciasssssssssss

Acá pongo mi resolución:
Supongamos que tenemos \(\phi \in \langle v_{1} , v_{2} \rangle ^{\circ}\) . En primer lugar, \(\phi\) está en \(\mathbb{V}^*\) , así que se puede escribir como combinación de \(B^*\) de una única manera, por ser una base.
Entonces \(\phi = a \phi_{1} + b \phi_{2} +c \phi_{3} + d \phi_{4}\) .
Además, debe verificar:
\(0= \phi(v_{1})= a \phi_{1}(v_{1}) + b \phi_{2}(v_{1}) +c \phi_{3}(v_{1}) + d \phi_{4}(v_{1}) = a - 2b - 3c + d\) .
\(0= \phi(v_{2})= a \phi_{1}(v_{2}) + b \phi_{2}(v_{2}) +c \phi_{3}(v_{2}) + d \phi_{4}(v_{2}) = a - b + d\) .

Luego, \(( \langle v_{1},v_{2} \rangle ^{\circ})_{B^*} = \langle (1,0,0,-1),(0,-1,1,1) \rangle\) .
Además, \(( \langle v_{3},v_{4} \rangle ^{\circ})_{B^*} = \langle (1,1,-3,0),(0,1,0,2) \rangle\) .

Ahora, \(\langle v_{1},v_{2},v_{3},v_{4} \rangle = \langle v_{1},v_{2} \rangle + \langle v_{3},v_{4} \rangle\) .

\(dim(\langle v_{1},v_{2} \rangle + \langle v_{3},v_{4} \rangle)^{\circ}\) = \(dim(\langle v_{1},v_{2} \rangle ^{\circ} \cap \langle v_{3},v_{4} \rangle ^{\circ})\) .
Bueno, ahora usamos las coordenadas que teníamos antes para ver la dimensión de la intersección:

\(\longrightarrow\) . Luego \(dim(\langle v_{1},v_{2} \rangle ^{\circ} \cap \langle v_{3},v_{4} \rangle ^{\circ}) = 1 =\) \(dim(\langle v_{1},v_{2} \rangle + \langle v_{3},v_{4} \rangle)^{\circ} =\) \(dim \langle v_{1},v_{2},v_{3},v_{4} \rangle ^{\circ}\) . Entonces, \(dim \langle v_{1},v_{2},v_{3},v_{4} \rangle = 4 - 1 = 3\) .

Nota: Para buscar la intersección y todo eso que hago por ahí, uso siempre que tomar coordenadas es un isomorfismo, sino no vale mucho.
Al final, uso que \(dim \langle v_{1},v_{2},v_{3},v_{4} \rangle = dim \mathbb{R}^4 - dim \langle v_{1},v_{2},v_{3},v_{4} \rangle ^{\circ}\)
Y también usé que \((S+T)^{\circ}= S^{\circ} \cap T^{\circ}\)
Avisen si cometí un error por favor.
Falta poco para el parcial.. 😮

Edit: aka d mia, cuando sumas los anuladores no estás calculando \(\langle v_{1},v_{2} \rangle ^{\circ}\) , sino \(\langle v_{1} \rangle ^{\circ} + \langle v_{2} \rangle ^{\circ}\)

Firma

$$Que\; no\; es\; lo\; que\; queriamos\; demostrar... \hspace{3cm}\Box$$

El procedimiento está bien.