Decidir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar:
i)Sean \(A,B\in\math{R}^{5\times 5}\) tales que \(rg(A\cdot B)\eq=rg(A)\eq=4\). Entonces \(B\) es inversible.
ii)Sea \(A\in\mathbb{R}^{2\times 3}\) tal que \(rg(A)\eq=2\). Entonces existe \(B\in\mathbb{R}^{3\times 2}\) tal que \(A\cdot B\eq={I}_{2}\)
Bien, el ejercicio es fácil, pero bueno...
i)Tomando
$$A\eq=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix},;B\eq=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0 \ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$
, es fácil ver que \(rg(A)\eq=4\), \(rg(B)\eq=4\), con lo que no es inversible, pero $$A\cdot B\eq=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0 \ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$
, y \(rg(A\cdot B)\eq=4\). O sea, es falsa la proposición.ii)Bueno, notemos que \(rg(A)\eq=2\) es el máximo. Quiere decir que si
$$A\eq=\begin{pmatrix} a & b & c \ d & e & f\end{pmatrix}$$
, tenemos que el subespacio generado por los vectores columna tiene dimensión 2, o sea, hay dos vectores columnas que son linealmente independientes. Sean, sin pérdida de generalidad, los dos primeros. Luego, tomamos la matriz $$C\eq=\begin{pmatrix} a & b \ d & e\end{pmatrix}$$
. Como \(rg(C)\eq=2\), y es máximo, resulta que es inversible; sea $${C}^{-1}\eq=\begin{pmatrix} a' & b' \ d' & e'\end{pmatrix}$$
. Tomando $$B\eq=\begin{pmatrix} a' & b' \ d' & e' \ 0 & 0\end{pmatrix}$$
, es fácil ver que \(A\cdot B\eq={I}_{2}\)(no lo escribo, pero es fácil de ver. Perdón por las pocas ganas...). O sea, existe una matriz como la pedida. Además, notemos que si no hubieran sido los vectores columna dados, la construcción de \(B\) es análoga.Disculpen la desprolijidad de la última parte. Espero haber ayudado(Juanma y Agustín resolvieron mucho; es difícil encontrar buenos ejercicios...). Saludos.
edit: las letras estaban mal en algún punto; error con las \(C\) y la \(B\) de ii)... culpa de la hora a la que postié. Gracias.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
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