Sea \(V\eq={R}_{n-1}[X]\). Para cada \(g\in V\), sea \({\phi}_{g}\in {V}^{\ast}\), dada por \({\phi}_{g}(f)\eq=\int_{0}^{1}f(x)g(x)\,dx\).
1)Probar que \(B\eq=\{{\phi}_{1},{\phi}_{x},...,{\phi}_{{x}^{n-1}}\}\) es una base de \({V}^{\ast}\)
2)Sea \({H}_{n}\in\mathbb{R}^{n\times n}\) la matriz dada por \({({H}_{n})}_{i,j}\eq=\frac{1}{i+j-1}\). Probar que \(\det({H}_{n})\neq 0\)
1)Bueno, notemos que el cardinal de \(B\) es \(n\), y que \(dim({R}_{n-1}[X])\eq=n\). Además, una base para \(V\) es \(E\eq=\{1,X,{X}^{2},...,{X}^{n-1}\}\) y \(dim({V}^{\ast})\eq=dim(V)\eq=n\). Luego, bastará probar que \(B\) es un conjunto linealmente independiente. Para ello, veamos que:
I)\({\alpha}_{1}{\phi}_{1}(f)+...+{\alpha}_{n}{\phi}_{{x}^{n-1}}(f)\eq=0\iff {\alpha}_{i}\eq=0,\;forall 1\leq i\leq n\).
Luego, escribiendo en general, tenemos:
Ahora, dado que \({\alpha}_{1},...,{\alpha}_{n}\) están fijos, podemos especializar(gracias a Juanma por la idea) en \(f\eq={\alpha}_{1}+{\alpha}_{2}X+...+{\alpha}_{n}{X}^{n-1}\), queda:
\(\int_{0}^{1}{f}^{2}(x)\dx\eq=0\iff f(x)\eq=0\)(esto se debe porque \(g(x)\geq0 \implies \int_{0}^{1}g(x)\,dx\geq 0\), valiendo la igualdad cuando \(g(x)\eq=0\)). Ahora, \(f(x)\eq={\alpha}_{1}+{\alpha}_{2}X+...+{\alpha}_{n}{X}^{n-1}\eq=0\). Pero dijimos al principio que \(\{1,X,...,{X}^{n-1}\}\) es una base de \({R}_{n-1}[X]\), con lo que particularmente es un conjunto linealmente independiente. Sigue que los escalares \({\alpha}_{i}\eq=0,1\forall i\leq n\), con lo que \(B\) es un conjunto linealmente independiente. Por lo dicho anteriormente(misma cardinalidad de \(B\) con una base de \({V}^{\ast}\)), sigue que \(B\) es una base de \({V}^{\ast}\)
b)Es bastante fácil; había una sugerencia, aunque realmente no se si era tan necesaria. Si en la expresión I) especializamos en los elementos de la base \(E\eq=\{1,X,...,{X}^{n-1}\}\), queda un sistema homogéneo cuya matriz asociada es \({H}_{n}\). Como probamos que son linealmente independientes, resulta que este sistema \(n \times n\) admite solamente la solución trivial \(0\), lo que significa que \({H}_{n}\) es inversible, y en consecuencia, \(\det({H}_{n})\neq 0\).
Espero haber ayudado y aclarado. Saludos.
PD: lindos ejercicios Quimey; ¿colaboraste vos en la elaboración de los mismos?
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities