Suponete que estas mirando tranformaciones lineales de \(\mathbb{C}\) en \(\mathbb{C}\). Que significa lineales en este contexto?
\(f(x+y)=f(x)+f(y)\)
2)\(f(\lambda x)=\lambda f(x)\)
La cuestion es el punto 2, donde está \(\lambda\)? Si la afirmacion 2 es para numeros racionales decimos que f es \(\mathbb{Q}\) lineal y notamos \(f\in Hom_{\mathbb{Q}}(\mathbb{C},\mathbb{C})\). En cambio si 2 vale para todo numero real decimos que f es \(\mathbb{R}\) lineal y notamos \(f\in Hom_{\mathbb{R}}(\mathbb{C},\mathbb{C})\). Y tambien podriamos pedir que 2 valga para todo numero complejo. En este caso seria: f es \(\mathbb{C}\) lineal y notamos \(f\in Hom_{\mathbb{C}}(\mathbb{C},\mathbb{C})\).
Estas 3 definiciones son distintas, en la practica hay ejercicios donde muestran ejemplos de unas que no son otras.
El espacio dual no es otra cosa mas que el espacio vectorial de las funciones lineales que van de tu espacio al cuerpo de base K (es decir pienso que V es un K espacio vectorial).
Espero haber despejado (alguna de) tus dudas. Cualquier cosa especifica mas que es lo que no entendes porque esto es como muy general.