la idea era agregarlo con el anterior porque es corto, pero me arrepenti. Para mantener el orden. Asique aca va.
3)Sean \(A,B \in K^{n*n}\) tales que \(A.B=0\). Probar que\(rg(A)+rg(B) \leq n\)
Consideremos a \(A\) como la matriz asociada a la t.l. \(F\) y a \(B\) como la matriz asociada a la t.l \(G\) \(F,G:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n\)
Entonces \(F(G(X))=0 \forall x\). Veamos que \(Im(G)\subseteq Nu(F)\)
Sea \(v \inIm(G) \Rightarrow \exists w / G(w)=v \Rightarrow F(G(w))=F(v)=0 \Rightarrow v \in Nu(F)\) Luego \(dim(Im(G))\leq dim(Nu(F))\) y como \(dim(Nu(F))= n - Im(F)= n - rg(A)\) y ademas \(Im(G)=rg(B) \Rightarrow rg(B)\leq n-rg(A) \Rightarrow rg(A)+rg(B) \leq n\)
Cualquier cosa avisen. Suerte.