Sea \(M\in K^{n*n}\) una matriz cuadrada. Probar que existe \(B \in K^{n*n}\) tal que \(det(M+tB)\not=0\) para todo \(t\not=0\).
Sugerencia: consederar primero el caso M escalonada por filas.
Ya que nos dicen, consideremos \(M\)escalonada por filas, en ese caso \(det(M)=0\)si alguno de los elementos de la diagonal es igual a\(0\). Entonces consideresmos \(B\)=" la matriz que tiene un 1 en aquellos lugares de la diagonal donde \(M\) tiene un \(0\), en todos los demas va un \(0\)". Entonces si sumamos \(M+tB\) esta matriz es escalonada por filas con todos los elementos de su diagonal no nulos por lo tanto \(det(M+tB)\not=0\) ( se puede escribir mejor que con palabras pero creo que asi se entiende bien)
Si \(M\) no es escalonada por filas, la podemos escribir como un producto de matrices elementales por una matriz escalonada por filas. En ese caso \(M=E_1.....E_j. F\) con \(F\) escalonada por filas. En este caso consideramos la matriz \(B=E_1.....E_j B'\) (con\(B'\) definida igual que antes)
En este caso \(det(M+tB)=det(E_1.....E_j. F+tE_1.....E_j B' )=det(E_1.....E_j) det(F+tB')\)
Como \(det(F+tB')\not=0\) por la primera parte y como \(det(E_1.....E_j)\not=0\) porque son matrices elementales \(\Rightarrow det(M+tB)\not=0\)