[no resuelto] 1er parcial, 1er cuatri 07, ej5

Sea \(A \in K^{n*n}\) y \(b \in k^{m*1}\) .Probar que el sistema \(Ax=b\) es incompatible si y solo si existe \(c \in K^{1*m}\) tal que \(cA=0\) y \(cb \not= 0\)

\(\Leftarrow)\)

Notar que el sistema\(Ax=b\) tiene solucion \(\Rightarrow cAx=cb\) tiene solucion. Entonces, si existe \(c \in K^{1*m}\) tal que \(cA=0\) y \(cb \not= 0\) el sistema \(cAx=cb\) no tiene solucion ya que \(0=cAx=cb\not= 0\) \(\Rightarrow Ax=b\) no tiene solucion

Para la ida necesito ayuda 😄 .

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juanma escribió:

Notar que el sistema\(Ax=b\) tiene solucion \(\Leftrightarrow cAx=cb\) tiene solucion.

Quizás estoy muy estúpido ya a esta hora, así que disculpen si pregunto una tonteria, pero.. vale eso? o sea, la ida me queda claro, pero la vuelta? Qué tal por ejemplo:
\(c = (1 \; 0)\) ,

, ?

\(cA \cdot x = cb\) tiene solución, pero \(A \cdot x = b\) no.

Firma

$$Que\; no\; es\; lo\; que\; queriamos\; demostrar... \hspace{3cm}\Box$$

Aguistin tiene razon pero igual me parece que solo uso la que valia.

Firma

Quimey

El estupido soy yo agustin jaja, nose porque cuando lo hice estaba pensando en un producto de vectores, nose cualquier cosa jaja. Igual como dice quimey use la que valia 😆

Dejo la idea un poco mucho muy resumida:
Fijate que el sistema es incompatible, entonces seguro que al triangularlo, te queda algo así como \(0\; 0\; 0\; 0\; 0\; ... 0\; | \; x_{i}\) , donde \(x_{i} \not= 0\) .
Entonces, tenés una fila en la matriz asociada que se puede escribir como combinación de las demás. Tomando el vector \((a,b,c,...,-1,...,h,g)\) ,(muy informalmente lo digo), donde las letras son los escalares que multiplican a las otras filas para obtener esta que se escribe como combi de las demás, fijate que este vector verifica \(c \cdot A = 0\) , y que además \(c \cdot b \not= 0\) , ya que de ser así, si

, al hacer \(c \cdot b\) te queda algo así como : \(a x_{1} + b x_{2} + ... - x_{i} + ... + x_{m}\) , lo cual no puede ser cero, ya que si suponemos que es cero, entonces \(a x_{1} + ... + x_{m} = x_{i}\) . Donde teníamos \(0\; 0\; 0\; ... \; 0\; | x_{i}\) reemplazamos, y nos queda que \(x_{1} + ... + x_{m} = 0\) , pero entonces \(x_{i} = 0\) , lo cual es absurdo porque \(x_{i} \not= 0\) . Luego, \(c\cdot b \not= 0\) .

\(...\) Se entendió lo que quise decir ? =S

Nota: Gracias a Exe por la idea 😛

(mi formalidad apesta 😛 pero espero que se entienda lo que quise poner)