Dada \(A \in \mathbb{C}^{n*n}\) , se define \(f:\mathbb{C}^{n*n} \rightarrow \mathbb{C}^{n*n}\) como \(f(X)=A.(X+X^t)\)
i) sean \(S\subset \mathbb{C}^{n*n}\) el subespacio de matrice simetricas, \(T\subset \mathbb{C}^{n*n}\)el subespacio de matrices antisimetricas y \(U= \lbrace X \in\mathbb{C}^{n*n}/ AX=0 \rbrace\)
Probar que \(T+(S\cap U)\subset Nu(f)\)
ii) si \(n=4\) y \(rg(A)=2\), probar que \(dimNu(f)\geq 8\)
i) Sea \(X \inT+(S\cap U)\) entoces \(X= B + C\) con \(B\in T\) y \(C \in (S\cap U)\)\(f(X)= A(B+C + (B+C)^t)=A (B+C+B^t+C^t)= A (B+B^t+C+C^t)= A(B-B)+AC + AC=A0+A0+A0\)
$$\Rightarrow X\in Nu(f)$$
ii)Si \(n=4, dim(S)=10, dim(T)=6\) y como \(rg(A)=2 \Rightarrow dim(U)=4*2=8\)
Ademas\(T\cap(S\cap U)=0\)
Como \(T\subset Nu(f)\) y \((S\cap U)\subset Nu(f)\), tendriamos que ver que \(dim(S\cap U)\geq2\) ya que en ese caso \(6+2 \leq dim(T)+dim(S\cap U)=dim(T+(S\cap U))\leq dim(Nu(f))\)
Veamos esto ultimo, como \(dim(S)=10, dim(U)=4*2=8 \Rightarrow dim(S\cap U)\geq 10+8-16 =2\)
Con lo cual \(dimNu(f)\geq 8\)
Si alguien sabe la fecha del parcial que la diga asi cambio el titulo.
Gracias quimey, pense que tenia vectores, me olvide que eran matrices. Ahora veo si me sale.
\(rg(A)=2 \Rightarrow dim(U)=2\) no deberia ser \(rg(A)=2 \Rightarrow dim(U)=4*2=8\) o algo así; si el rango es bajo entonces debería haber mas matrices que anulen a A.
Ademas \(dim(S)=10, dim(U)=8 \Rightarrow dim(S\cap U) \geq 10+8-16=2\) como vos querias
Creo que lo tengo, viene de que si \(AX=0\) entonces \(AX_1=0 , AX_2=0, AX_3=0, AX_4=0\) donde \(X_i\) es la columna i de la matriz X. En este casi si \(rg(A)=2 \Rightarrow dim\lbrake AX_i \rbrake=2\)
Imaginate que U es una tl entonces lo que queres es que \(Im(U) \subseteq Nu(A)\), esto lo podes pensar como si el codominio de U fuera el nucleo de A y la dimension del espacio de funciones de un espacio de dimension 4 en uno de dimension 2 es 8
No entendi del todo lo que pusiste, pero igual lo comprendi considerandolo como una funcion de \(\mathbb{R}^{16} \rightarrow\mathbb{R}^{16}\)cuyo nucleo tiene \(dim(Nu(f))=8\). Y lo que puse antes, me parece que esta bien tambien.
Puedo decir lo siguiente para la última parte?:
tengo \(A\cdot X = 0\) , con \(X \in \mathbb{C}^{4 x 4}\) .
Ahora, si \(X=(X_{1} | X_{2} | X_{3} | X_{4})\) , entonces puedo pensar que la dimensión de \(dim(U) = dim (\{X\in \mathbb{C}^{4 x 4} \; : \; A\cdot X = 0 \}) =\) \(\sum_{i=1}^{4} dim(\{ X\in \mathbb{C}^4 \; : \; A\cdot X_{i} = 0 \}\)