Ejercicio 4. Sea \(E^{*} = \{\delta_{1} \, , \, \delta_{2} \, , \, \delta_{3} \, , \, \delta_{4} \}\) la base dual de la base canónica de \(\mathbb{R}^{4}\) . Sean \(v_{1} \, , \, v_{2} \, , \, v_{3} \; \in \mathbb{R}^{4}\) tales que
a). Probar que \(\{((-1,1,0,1) \, , \, v_{1} \, , \, v_{2} \}\) es un conjunto linealmente dependiente.
b). Calcular \(dim(\langle v_{1} \, , \, v_{2} \, , \, v_{3} \rangle)\) .
a).
Sea \(S = \langle v_{1} \, , \, v_{2} \rangle\) , y sea \(W = \langle (-1,1,0,1) \rangle\) . Entonces, \(S+W = \langle v_{1} \, , \, v_{2} \, , \, (-1,1,0,1) \rangle = T\) , ( \(T , W , S \; \subseteq \; \mathbb{R}^{4}\) ) .
El plan es tratar de ver que \(dim(T) < 3\) . Vamos a usar que \(dim(T) = dim(\mathbb{R}^{4}) - dim(T^{\circ}) = 4 - dim(T^{\circ})\) .
Ahora, \(dim(T^{\circ}) = dim(W+S)^{\circ} = dim(W^{\circ} \cap S^{\circ})\) .
Busquemos \(W^{\circ}\) :
Sea \(\Phi \in W^{\circ}\) , y sea \(X=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\) .
\(\Phi (X) = a x_{1} + b x_{2} + c x_{3} + d x_{4}\) , en particular \(\Phi (1,1,0,1) = -a+b+d = 0 \iff d=a-b\) . Luego, \(\Phi (X) = a (x_{1} + x_{4} ) + b (x_{2} - x_{4} ) + c x_{3} \; \Longrightarrow W^{\circ} = \langle x_{1} + x_{4} , x_{2} - x_{4} , x_{3} \rangle\) .
Ahora, usamos que tomar coordenadas en una base es un isomorfismo, y que \((\Phi_{i})_{E*} = (\Phi_{i}(e_{1}) \, , \, \Phi_{i}(e_{1}) \, , \, \Phi_{2}(e_{3}) \, , \, \Phi_{i}(e_{4}) )\) . Entonces:
\((W^{\circ})_{E^*} = \anlge (1,0,0,1),(0,1,0,-1),(0,0,1,0) \rangle\) .
Además, \((S^{\circ})_{E^*} = \langle (1,1,-3,0),(0,1,0,-1) \rangle\) .
(Notar que lo que tenemos no solo son generadores, sino que son bases de sus respectivos espacios)
Busquemos ahora \(dim(W^{\circ} \cap S^{\circ} )\) :
b).
Ahora, \(A = \langle v_{1},v_{2} \rangle ^{\circ}\) sabemos quien es, y más aún, podemos tomar coordenadas en \(E^*\) , como hicimos en "a)." . Analogamente, con \(B = \langle v_{2},v_{3} \rangle ^{\circ}\)
Bueno, espero que se entienda. Corrijan por favor =)
Saludo.