Sean \(v_1,...,v_n \in K^n\) vectores tales que sus coordenadas suman \(1\). Probar que existen \(\alpha_1,....\alpha_n \in K^n\) no todos nulos tal que \(\alpha_1 v_1+.....+\alpha_n v_n=(\alpha_1,......,\alpha_n)\)
Consideremos la matriz \(A=(v_1^t,.....,v_n^t)\) entonces estamos buscando una solucion no nula del sistema \(Ax=x\Leftrightarrow (A-I_n)x=0\). Debemos encontrar una solucion no nula de este sistema, para eso veamos que \(det(A-I_n)=0\)
$$I_n=\left(\begin{matrix}1 & ..&0 \\ ... & ... & ... \\ 0 &... & 1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\sum_{i=1}^{n} v_{1i} & ...& 0 \\... &...&... \\ 0...&...& \sum_{i=1}^{n} v_{ni} \end{matrix}\right)$$
es decir en la diagonal reemplazo los 1 por la suma de las coordenadas de los vectores corespondientes.\(v_{ij}\) es la coordenada \(j\) del vector \(i\). Entonces
$$(A-I_n)=\left(\begin{matrix} -\sum_{i=2}^{n} v_{1i} & v_{21} & ... & v_{n1} \\ v_{12} & -\sum_{i=2}^{n} v_{2i} & ...& v_{n2} \\ ... &... & ...&... \\ v_{1n} & v_{2n} &...& -\sum_{i=1}^{n-1} v_{ni} \end{matrix}\right)$$
Si calculamos
$$det\left(\begin{matrix} -\sum_{i=2}^{n} v_{1i} & v_{21} & ... & v_{n1} \\ v_{12} & -\sum_{i=2}^{n} v_{2i} & ...& v_{n2} \\ ... &... & ...&... \\ v_{1n} & v_{2n} &...& -\sum_{i=1}^{n-1} v_{ni} \end{matrix}\right)= det \left(\begin{matrix} 0 & 0 & ... & 0 \\ v_{12} & -\sum_{i=2}^{n} v_{2i} & ...& v_{n2} \\ ... &... & ...&... \\ v_{1n} & v_{2n} &...& -\sum_{i=1}^{n-1} v_{ni} \end{matrix}\right)$$
sumandole a la primer fila las demas restantes.
Como la matriz tiene una fila de 0 entonces el determinante es igual a 0 y existe una solucion no trivial al sistema.