Sea \(A \in K^{n*n}\)con \(n\geq 2.\) Probar que \(adj(adj(A))=det(A^{n-2})A\)
Notar que \(det(A^{n-2})=det(A)^{n-2}\)
Para resolverlo voy a usar la propiedad que dice: Sea \(B \in K^{n*n}\Longrightarrow Badj(B)=det(B)I_n\)
Primero supongamos que \(A\)es inversible.Entonces
\(adj(A) adj(adj(A))=det(adj(A)) I_n\) (es decir use la propiedad de la adjunta con \(B=adj(A)\))
y como \(det(A)\neq0\)podemos despejar \(adj(A)=det(A) A^{-1}\)
Entonces reemplazando nos queda \(det(A) A^{-1} adj(adj(A))=det(det(A)A^{-1}) I_n\Longrightarrow adj(adj(A))=det(det(A)A^{-1}) A det(A)^{-1}\) (se puede hacer esto porque\(A\) es inversible)
( \(det(det(A)I_n)=det(A)^{n}\) porque es un escalar multiplicando a toda la matriz identidad, asique sale un \(det(A)\) por cada columna)
Por lo tanto \(adj(adj(A))=det(A)^{n-1} A det(A)^{-1}=det(A)^{n-2} A\)
Ahora supongamos que \(rg(A)\leq n-2\) por lo tanto \(adj(A)=0\) , por la propiedad de las submatrices. es claro que en este ejemplo se cumple lo pedido porque \(adj(A)=0=det(A)\) entoces \(adj(0)=0=det(A)^{n-2}A=0A=0\)
Ahora veamos que pasa si \(rg(A)=n-1\) en ese caso \(rg(adj(A))=1\) es un ej de la practica, cualquier cosa avisen y lo pongo. Entonces \(adj(adj(A))=0\)porque \(rg(adj(A))=1\) y como \(det(A)=0\) llegamos nuevamente a la igualdad.
Suerte. Cualquier cosa avisen.