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Primer Parcial - 2do Cuat. 2001

0 respuestas 10583 visitas 2008-10-11

#1 Agustin 2008-10-11 04:52

2. Sea \(f\; : \; \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}_{<3}[X]\) la transformación lineal determinada por

$$f(1,1,1) = 1+aX+2X^2$$

$$f(0,1,0) = -1-bX+(a^2 - 2)X^2$$

$$f(-1,0,1) = 1+bX+aX^2$$

(a) Hallar todos los \(a\) , \(b\) tales que \(f\) es un isomorfismo.
(b) Para \(a=b=1\) hallar \(T\) subespacio de \(\mathbb{R}_{<3}[X]\) tal que \(\mathbb{R}_{<3}[X] = T \oplus Im(f)\)

(a).
Notar que \(f\) es una transformación lineal que tiene la particularidad de que la dimensión del espacio vectorial de partida coincide con la dimensión del espacio vectorial de llegada. ( \(dim \mathbb{R}^3 = dim \mathbb{R}_{<3}[X] = 3\) ).
Luego, \(f\) isomorfismo \(\iff\) \(f\) monomorfismo \(\iff\) \(f\) epimorfismo. Entonces, la idea se reduce a encontrar \(a\) , \(b\) tal que \(f\) sea un epimorfismo.

Notar que \(A = \{ (1,1,1) , (1,0,1) , (-1,0,1) \}\) es un sistema de generadores de \(\mathbb{R}^3\) . Entonces, \(f(A)\) va a ser un sistema de generadores de \(Im(f)\) .
Se sigue que \(B = \{1+aX+2X^2 \; , \; -1-bX+(a^2 - 2)X^2 \; , \; 1+bX+aX^2 \}\) es un sistema de generadores de \(Im(f)\) .
Ahora, como \(\langle B \rangle \subseteq \mathbb{R}_{<3}[X]\) , basta ver cuales \(a\) y \(b\) hacen que \(B\) sea \(l.i\) .

Aún más, \(B\) es \(l.i \; \iff \; (B)_{E}\) es \(l.i\) , puesto que tomar coordenadas en una base es un isomorfismo. ( donde \(E\) denota la base canónica de \(\mathbb{R}_{<3}[X] = \{1,X.X^2 \}\) ) .
Entonces basta ver que \((B)_{E} = \{(1,a,2) , (-1,-b,a^2 - 2) , (1,b,a) \}\) es \(l.i\) .
Ahora, si una familia de vectores es \(l.i\) , al hacerle operaciones elementales, sigue siendo \(l.i\) . Enconces trabajemos esto y veamos que pasa:

\left(\begin{matrix}1 & a & 2 \\ -1 & -b & a^2 - 2 \\ 1 & b & a \end{matrix}\right)

\(\longrightarrow\)

\left(\begin{matrix}1 & a & 2 \\ 0 & -b+a & a^2 \\ 0 & 0 & a^2 + a - 2 \end{matrix}\right)

, (solo apliqué operaciones elementales).

Ahora, si \((B)_{E}\) no fuera \(l.i\) , entonces el sistema homogéneo \(H\) cuya matriz asociada triangular es

\left(\begin{matrix}1 & a & 2 \ 0 & -b+a & a^2 \ 0 & 0 & a^2 + a - 2 \end{matrix}\right)

admitiría solución no trivial. Por lo tanto, basta pedir que \(H\) solo admita solución trivial, para que \((B)_{E}\) sea \(l.i\) , o lo que es lo mismo, que \(B\) sea \(l.i\) .
Todo se reduce entonces a que \(-b+a \not= 0\) y \(a^2 +a-2 \not= 0\) , es decir, \(a \not= b\) y \(a \not= 1\) , \(a \not= -2\) .

(b).
Veamos como está definida \(f\) si \(a=b=1\) . Queda:

$$f(1,1,1) = 1+X+2X^2$$

$$f(0,1,0) = -1-X-X^2$$

$$f(-1,0,1) = 1+X+X^2$$

Nuevamente. \(C = \{1+X+2X^2 \; , \; -1-X-X^2 \; , \; 1+X+X^2 \}\) es un sistema de generadores de \(Im(f)\) .

C_{E} = \{ (1,1,2) \; , \; (-1,-1-1) \; , \; (1,1,1) \}

\(\langle C_{E} \rangle = \langle (1,1,2) , (0,0,-1) \rangle\) . Tomemos \((T)_{E} = \{(0,1,0) \}\) , luego \(T = \langle X \rangle\) . Por lo tanto, \(\langle (T)_{E}\rangle \cap \langle C_{E} \rangle = T \cap Im(f) = \{0\}\) . (Cabe aclarar que todo esto vale porque tomar coordenadas en una base es un isomorfismo)

Por otro lado, \(T \subseteq \mathbb{R}_{<3}[x]\) y \(Im(f) \subseteq \mathbb{R}_{<3}\) , por lo que \(T + Im(f) \subseteq \mathbb{R}_{<3}\) .
Como además, \(dim(T+Im(f))= 3 = dim \mathbb{R}_{<3}[X]\) , se sigue que \(T + Im(f) = \mathbb{R}_{<3}[x]\) .

Entonces \(T=\langle X \rangle\) satisface lo pedido.

Espero que sirva, aclare, no oscurezca. Salud.

Firma

Que\; no\; es\; lo\; que\; queriamos\; demostrar... \hspace{3cm}\Box