Ejercicio 2. Sea \(S \subseteq \mathbb{R}_{4}[X]\) el subespacio definido por \(S = \{ P \; \in \; \mathbb{R}_{4}[X] \; / \; P(0) = P^{'} (1) = 0 \}\) . Se sabe que \(f \; : \; \mathbb{R}_{4}[X] \longrightarrow \mathbb{R}_{4}[X]\) es una transformación lineal que satisface simultáneamente que \(dim f(S) = 2\) y \(S \subset Im (f)\).
i) Probar que \(f(S) + S \;\not= \; \mathbb{R}_{4}[X]\) .
ii) Hallar una \(f\) que satisfaga lo pedido tal que \(dim(f(S) + S)\) sea la máxima posible.
i).
Tratemos de ver que \(dim f(S) + S \; \not= \; dim \mathbb{R}_{4}[X]\) .
Primero, tratemos de ver quien es \(S\) .
\(P \in S\) es de la forma \(aX^4 + bX^3 + cX^2 + dX + e\) , con \(a,\, b,\, c,\, d,\, e,\, \in \, \mathbb{R}\) .
\(P(0) = 0 \Longrightarrow e=0\) .
Por otro lado, \(P^{'}\) es de la forma \(4aX^3 + 3bX^2 + 2cX + d\) . Especializando en \(1\) , obtenemos que \(d = -4a-3b-2c\) .
Luego, \(P \in S\) es de la forma \(aX^4 + bX^3 + cX^2 + (-4a-3b-2c) X + 0\) . Ordenando un poco, \(P\) es \(a(X^4 - 4X) + b(X^3 - 3X) + c(X^2 - 2X)\) .
O sea que \(S = \langle X^4 - 4X \; , \; X^3 - 3X \; , \; X^2 - 2X \rangle\) .
Aún más, \(dim S = 3\) .
Bien, \(Im(f) \subset \mathbb{R}_{4}[X]\) . O sea que \(dim(Im(f)) \leq dim(\mathbb{R}_{4}[X]) = 5\) .
Supongamos entonces \(dim(Im(f)) = 5\) . Entonces \(f\) es un epimorfismo. Como \(f\) está definida en espacios vectoriales con la misma dimensión, que sea un epimorfismo equivale a que sea un monomorfismo. Pero ahora, si \(f\) es monomorfismo, y tengo un conjunto \(l.i\) , cuando le aplique \(f\) a ese conjunto, me tiene que dar otro que tambien sea \(l.i\) . Esto genera un absurdo, puesto que si tomo el sistema de generadores de \(S\) como conjunto, (el cual tiene dimensión \(3\) ), y le aplico \(f\) , me dá otro conjunto que no es \(l.i\) , ya que por hipótesis, \(dim f(S) = 2\) .
Concluimos que \(dim(Im(f)) < 5\) (*****)
Por otro lado, sabemos que \(S \subset Im(f)\) por hipótesis, y además que \(f(S) \subset Im(f)\) , lo cual sale practicamente por definición de \(Im(f)\) .
Aún más, \(f(S) + S \subset Im(f) \subseteq \mathbb{R}_{4}[X]\) . Y siguiendo, \(dim(f(S) + S) \leq dim(Im(f)) \leq dim(\mathbb{R}_{4}[X]) = 5\) .
Por (*****) , \(dim(Im(f)) < dim(\mathbb{R}_{4}[X]) = 5\) .
Por transitividad de \(<\) se tiene que \(dim(f(S) + S) < dim(\mathbb{R}_{4}[X])\) , con lo cual \(f(S) + S \; \not= \; \mathbb{R}_{4}[X]\) .
ii).
Como vimos en i). , \(dim(f(S) + S)\) es a lo sumo \(4\) . Supongamos que puede ser \(4\) , y expongamos por ejemplo la siguiente \(f\) transformación lineal:
(vamos a definir \(f\) en la base de \(S\) , pero expandida a una base de \(\mathbb{R}_{4}[X]\) )
Espero que esté bien, que aclare y no oscurezca.
Salud.