Problema 1: Sea \(\mathbb{V}\) un espacio vectorial de dimensiçon finita. ¿Puede \(\mathbb{V}\) tener tres subespacios propios distintos \(\mathbb{W}_{0}\) , \(\mathbb{W}_{1}\) , y \(\mathbb{W}_{2}\) tales que \(\mathbb{W}_{0} \subset \mathbb{W}_{1}\) , \(\mathbb{W}_{0} + \mathbb{W}_{2} = \mathbb{V}\) y \(\mathbb{W}_{1} \cap \mathbb{W}_{2} = \{0 \}\) ?
Aprovechando que \(\mathbb{W}_{0} \subset \mathbb{W}_{1}\) , el plan es mostrar que las hipótesis del enunciado obligan a que \(\mathbb{W}_{0} = \mathbb{W}_{1}\) , por lo que nuestra respuesta sería que el \(\mathbb{V}\) del problema no puede tener tres subespacios propios distintos que cumplan con lo que dice que tienen que cumplir. En fin, al grano:
\(\mathbb{W}_{0} + \mathbb{W}_{2} = \mathbb{V}\) . Como \(\mathbb{W}_{0} \subset \mathbb{W}_{1}\) , entonces \(\mathbb{W}_{1} + \mathbb{W}_{2} = \mathbb{V}\) . (*****).
Por otro lado, \(\mathbb{W}_{1} \cap \mathbb{W}_{2} = \{0\}\) . Como \(\mathbb{W}_{0} \subset \mathbb{W}_{1}\) , entonces, en particular, \(\mathbb{W}_{0} \cap \mathbb{W}_{2} = \{0 \}\) .
Luego,
\(dim \mathbb{V}\) \(= dim ( \mathbb{W}_{0} + \mathbb{W}_{2} ) = dim \mathbb{W}_{0} + dim \mathbb{W}_{2} - dim ( \mathbb{W}_{0} \cap \mathbb{W}_{2} ) = dim \mathbb{W}_{0} + dim \mathbb{W}_{2}\) .
Pero también,
\(dim \mathbb{V}\) \(= dim ( \mathbb{W}_{1} + \mathbb{W}_{2} ) = dim \mathbb{W}_{1} + dim \mathbb{W}_{2} - dim ( \mathbb{W}_{1} \cap \mathbb{W}_{2} ) = dim \mathbb{W}_{1} + dim \mathbb{W}_{2}\) .
Entonces, \(dim \mathbb{W}_{1} + dim \mathbb{W}_{2} = dim \mathbb{V} = dim \mathbb{W}_{1} + dim \mathbb{W}_{2}\) , de donde resulta que \(dim \mathbb{W}_{1} = dim \mathbb{W}_{0}\) .
Pero entonces tenemos \(\mathbb{W}_{0} \subset \mathbb{W}_{1}\) , y que tienen la misma dimensión. Esto fuerza a que sean iguales.
Fin.
Por otro lado, volviendo a (*****) , esto se puede ver en detalle así por ejemplo:
Tenemos que en particular
\(\mathbb{W}_{0} + \mathbb{W}_{2} \subseteq \mathbb{V}\) , y \(\mathbb{W}_{1} \subseteq \mathbb{V}\) .
Entonces \(\mathbb{W}_{1} + (\mathbb{W}_{0} + \mathbb{W}_{2}) \subseteq \mathbb{V}\) .
Asociando adecuadamente, tengo que \(\mathbb{W}_{1} + \mathbb{W}_{2} \subseteq \mathbb{V}\) , (usando que \(\mathbb{W}_{0} + \mathbb{W}_{1} = \mathbb{W}_{1} )\) .
También sabemos que todo \(v\in \mathbb{V}\) se puede escribir como \(w_{0} + w_{2}\) , con \(w_{0} \in \mathbb{W}_{0}\) y \(w_{2} \in \mathbb{W}_{2}\) . Pero en particular, \(w_{0} \in \mathbb{W}_{1}\) por \(\mathbb{W}_{0} \subseteq \mathbb{W}_{1}\) . Entonces, a \(v\) lo puedo escribir como \(w_{0} + w_{2}\) , con \(w_{0} \in \mathbb{W}_{1}\) y \(w_{2} \in \mathbb{W}_{2}\) , de donde \(\mathbb{V} \subseteq \mathbb{W}_{1} + \mathbb{W}_{2}\) .
Doble contención probada, entonces \(\mathbb{W}_{1} + \mathbb{W}_{2} = \mathbb{V}\) .
Perdón si aclaré de más, creo que está bien.
Que sirva!, Saludos.