Sean \(B_1\) y \(B_2\) bases de \(\mathbb{R}^3\) y \(f : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3\) una transformacion lineal tal que
i)Calcular \(det\vert f \vert_{E}\) donde \(E\) denota la base canonica de \(\mathbb{R}^3\)
ii) Dar una formula pra \(f^6(x,y,z)\)
i) La matriz \(A=\vert f \vert_{B_1B_2}\) la podemos considerar como \(C_{EB_2}\vert f \vert_{E}C_{B_1E}\) y \(B=\vert f^2 \vert_{B_2B_1}=C_{EB_1}\vert f^2 \vert_{E}C_{B_2E}\) ( donde las matrices C son los cambios de base)
Las llamo A y B para que se vea mejor que estoy haciendo.
Calculemos \(AB=C_{EB_2}\vert f \vert_{E}C_{B_1E}C_{EB_1}\vert f^2 \vert_{E}C_{B_2E}=C_{EB_2}\vert f^3 \vert_{E}C_{B_2E}\)
(\(C_{B_1E}C_{EB_1}=I_3\) porque es una matriz por su inversa)
Si calculamos determinante nos queda \(det(AB)=det(C_{EB_2})det(\vert f^3 \vert_{E})det(C_{B_2E})\) (el determinante de un producto es el producto de los determinantes y \(det(C_{EB_2}).det(C_{B_2E}) = 1\) porque una matriz es la inversa de la otra)
luego \(det(AB)=det(\vert f^3 \vert_{E})=det(\vert f \vert_{E})^3\) (la matriz de una composicion es el producto de las matrices de cada funcion, aca tenemos tres veces la funcion f)
\(det(AB)=-1\) entonces \(det(\vert f \vert_{E})=-1\)
ii) necesito \(\vert f^6 \vert_{E}\) veamos que puedo conseguir.
si calculamos \((AB)(AB)=C_{EB_2}\vert f^3 \vert_{E}C_{B_2E}C_{EB_2}\vert f^3 \vert_{E}C_{B_2E}=C_{EB_2}\vert f^6 \vert_{E}C_{B_2E}\)
Si calculan
Espero sirva y este bien.
No se porque estoy haciendo esto ahora, deberia estar estudiando analisis. No se si les pasa pero cuando tengo examen de una materia prefiero hacer las cosas de la otra 😕 ....bueno.
Suerte!!