Recuperatorio del 2do parcial 09/12/2014

Adjunto parcial.

No me sale el ejercicio 3. Planteé \(<f(p),q> = <p,f(q)>\) e hice muchas cuentas pero llego a tener que integrar algo bastante feo (intento usar partes pero no sale). Alguien tiene alguna idea?
Saludos, gracias!

Por ahi te sirve calcular \(((1-x^2)p)''\). Igual no veo como te puede quedar algo más que un polinomio para integrar (y no lo calificaría de feo a eso)

Ah, es una buena idea; pero igual tengo que integrar \(f(p).q\), y aunque lo separe en sumas, me queda un producto medio extraño.

Derivando como me decís me queda que \(f(p)(x)=[(1-x^2)p)]''+2xp'+2p''\).

Y me queda que \(<f(p),q>=\int (p(x)-x^2p(x))'' q(x) dx + \int2xp'(x)q(x) dx + \int2p''(x)q(x) dx\). Tendría que ver que esto vale lo mismo que lo que está del otro lado del igual (lo mismo pero con q). Sospecho que hay que integrar y reemplazar, pero no veo cómo hacerlo, ni cómo tachar cosas.

Pasa algo parecido si planteo la igualdad sin usar tu idea.

Yo seguiría la sugerencia de Quimey. No hice la cuenta, pero seguro que se cancelan algunos términos.

Creo que mi sugerencia no sirve mucho...

Habrá alguna otra forma de hacer el ejercicio? Pensé en demostrar que \(||f(p) - f^*(p)|| = 0\), pero....no me sirve mucho.
También está la de calcular "a mano" la adjunta de f con la fórmula, pero como el espacio es de dim n, no creo que está bueno ortnonormalizarlo "genéricamente", no creo que quede lindo.

Hola! Al final un amigo me tiró una pista muy parecida a la de Quimey:
Calcular \((1-x^2)p')'\). Con esto se cancelan un par de términos importantes.

Después hay que darse cuenta de una cosita más:
que es que cuando usás partes tenés que evaluar en 1 y -1. Cuando hacés eso te queda la expresión 0=0 así que ganás.

Con respecto al ejercicio 5, quería contar (para ver si a a alguien se le ocurre una manera mejor) cómo lo hice:
Por un lado \(a \Leftrightarrow b\) porque estamos en un espacio de dimensión finita. Es más, si f es mono entonces es epi, además.
Sea B una BON, A una matriz tal que \(|f|_B = A \Rightarrow |f^*|_B = A^* \Rightarrow |f o f^*|_B = A^* A\). A es inversible pues f es mono/epi, \(A^*\) es inversible porque transponer y conjugar una matriz inversible te la deja inversible, y producto de inversibles es inversible \(\Rightarrow A A^*\) es inversible \(\Rightarrow f o f^*\) es iso.

che, con el 5 tené cuidado con la equivalencia, porque en el b) te piden probar \(f^*of\) y no \(fof^*\). Y no siempre \(f^*of = fof^*\).
Otra forma que se me ocurrió, es básicamente usando el ejercicio de la guía que dice que si f es automorfismo, su adjunta también lo es (automorfismo era endomorfismo + isomorfismo). Y luego te queda una composición de automorfismos y listo ganaste:
Lo que usé para ver eso es que si \(f\) es mono veo que \(f^*\) también. Entonces sea \(x \in Nu(f^*)\). Tengo que \(0 = <x,f^*(x)> = <f(x),x>\) Luego operando y todo eso me queda que \(0 = <f(x)-f^*(x),x>\) Y como x no es cero, tengo que \(f(x) = f^*(x)\) O sea si \(x \in Nu(f^*) \Rightarrow x \in Nu(f)\) Y como \(Nu(f) = \{0\}\), tengo que \(Nu(f^*) = \{0\}\). O sea que \(f^*\) es mono también, y luego iso. Y entonces \(fof^*\) es composición de isomorfismos, entonces es isomorfismo.

JAJAJA no lo había visto.

Ojo Mati que estamos en un C-espacio vectorial, entonces cuando operás en lo del producto interno, al dar vuelta \(<x,f^*(x)>\), te queda conjugado, entonces no podés juntar así como así los dos productos internos.

Ah cierto jaja, bueno tengo que pensarlo y ver si lo puedo arreglar.
Edit: Se puede arreglar, fijate que \(0 = <x,f^*(x)> = \overline{<f^*(x),x>}\). Pero 0 pertenece a \(\mathbb{R}\) o sea que \(0 = \overline{0} = \overline{\overline{<f^*(x),x>}} = <f^*(x),x>\) . Y luego ya sigo con el mismo razonamiento.

Che mati querido, creo que tenés un error: cuando decís

"Luego operando y todo eso me queda que\(0 = <f(x)-f^*(x),x>\) Y como x no es cero, tengo que\(f(x) = f^*(x)\)",

eso no vale. Tranquilamente podrían ser ortogonales y dar 0, no hace falta que uno de los miembros sea 0 para que el producto interno de 0.

A mí se me ocurrió otra forma:

si \(f o f^*(x)\)=0 \Rightarrow como f es mono, \(f^*(x) = 0\). f es automorfismo \(\LeftRightArrow\) f^* es automorfismo (ejercicio para el lector del futuro. Pista: buscate una base ortonormal para f), entonces queda lo que quería.

Para el b), basta tomar g=f*, g*=f, saber que si f es automorfismo entonces g también, y aplicar a.

Siento que estoy haciendo trampa al decir que mono \(\LeftRightArrow\) epi si es un endo en dimensión finita.

jajaja si error feo que me mandé. A priori diría que algo pensé para evitarlo porque había rendido el final hace poco y eso lo tuve que tener en cuenta, pero bueno no me acuerdo porque estaba tan convencido en su momento jaja. En fin, perdón por eso, para la próxima tengo más cuidado!