son semejantes.
b) Hallar una matriz \(P\in GL(3,\mathbb{C})\) tal que \(B={P}^{-1}.A.P\)
para la parte a) chequeé que las formas de Jordan de ambas era iguales y listo. La parte b) sospecho que es sencilla pero no se si es porque estoy quemada o qué, pero las cuentas no me dan.
Pensé en \(A=D.J.{D}^{-1}\) donde J es la forma de Jordan de A, el tema es que después no se cómo seguir. Si alguien tiene un idea.. gracias!!
Hola! Espero poder ayudarte a pesar de que no sé escribir en Latex.
El ejercicio requiere, además de buscar la forma de Jordan de ambas matrices, encontrar la base de Jordan y ponerlas como columnas para la matriz de cambio de base.
Es decir, A=RJR⁻¹ y B=QJQ⁻¹. Acá. R y Q son las matrices de cambio con los vectores de la base de Jordan en las columnas (R para A y Q para B). Fijate que, si bien la J para ambas es la misma (porque son semejantes), la matriz de cambio de base obviamente no va a ser iguales (¡porque si no A=B!).
Ahora, como A=RJR⁻¹ entonces J=R⁻¹AR. Y como B=QJQ⁻¹ entonces B=Q(R⁻¹AR)Q⁻¹. Por lo tanto, B=(QR⁻¹)A(RQ⁻¹). Pero QR⁻¹ y RQ⁻¹ son inversas una de la otra! (multiplicadas dan la identidad). Ya tenemos lo que queremos. B=(RQ⁻¹)⁻¹A(RQ⁻¹). Tu P es RQ⁻¹. Es inversible por ser producto de matrices inversibles.
Espero que te haya servido!! Chiflá si di algo por sentado o si no se entiende alguna cosa. Besos!!