[Resuelto] 2do parcial 2013

Sean \({L}_{1}=\lambda(0,1,1)+(1,0,-3)\) y \({L}_{2}=\mu(0,3,3)+(-3,-6,7)\) . Hallar el plano \(\Pi\) cuyos puntos equidistan de \({L}_{1}\) y \({L}_{2}\) :
Como \({L}_{1}\) y \({L}_{2}\) son paralelas, tomé dos planos \({\Pi}_{1}\) y\({\Pi}_{2}\) tales que fueran paralelos y además cada uno contuviese a \({L}_{1}\) y \({L}_{2}\) respectivamente.
Finalmente tomo \(\Pi\) paralelo a los otros dos plano hallados y además quiero que \(\Pi\) se encuentre entre estos plano y a la misma distancia de ellos. Por lo tanto, el subespacio asociado a \(\Pi\) será el mismo que para los otros planos y para hallar el punto de paso calculo la distancia entre \(\Pi\) y\({\Pi}_{1}\) y \({\Pi}_{2}\) y pido que estas sean iguales.
Una vez hecho esto obtengo condiciones para el punto de paso de \(\Pi\) y si veo que cumple la condición de equidistar entre
\({L}_{1}\) y \({L}_{2}\), listo.
Solo quiero corroborar que está bien el razonamiento. Gracias!

Pregunta: podrías por favor subir el enunciado del parcial completo? una foto aunque sea? 🙂 😄 me vendría bien.

1. Sean \({L}_{1}=\lambda(0,1,1)+(1,0,-3)\) y \({L}_{2}=\mu(0,3,3)+(-3,-6,7)\). Hallar el plano \(\Pi\) cuyos puntos equidistan de \({L}_{1}\) y \({L}_{2}\).
   Sugerencia: primero pensarlo geometricamente y luego justificar analíticamente.
2. Decidir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificar en cada caso mediante demostraciones o contraejemplos según corresponda:
   a)Sean \(A,B \in{\mathbb{K}}^{nxn}\) inversibles: \(adj(AB)=adj(B)adj(A)\)
   b)Sea \(A\in{\mathbb{K}}^{nxn}\) antimetrica. Entonces \(det(A)=0\)
   c)Sean \(A,B \in{\mathbb{K}}^{3x3}\) tales que \({(A)}_{ij}={(B)}_{ij}\) para todo \(1\leq i \leq 3\) y todo
   \(1 \leq j \leq 2\). Entonces \(det(A+B)=4(det(A)+det(B))\)
3. Sean \(A,B \in{\mathbb{R}}^{3x3}\) las matrices

y . Decidir si \(A\) y \(B\) son semejantes. 4) Sean \(V\) un espacio vectorial de dimensión 8 y \(f:V \rightarrow V\) una transformación lineal tal que \({m}_{f}(x)={x}^{7}\). Si \(B=\lbrace{v}_{1},...,{v}_{8}\rbrace\) es la base de Jordan de \(f\), hallar la forma y una base de Jordan para \({f}^{2}\) y \({f}^{3}\). 5) Sean \(A,B \in{\mathbb{K}}^{nxn}\) con \(A\) inversible. Sean \({\lambda}_{0},...,{\lambda}_{n} \in \mathbb{K}\) distintos entre si. Probar que existe \(i \in \lbrace0,..,n\rbrace\) tal que \({\lambda}_{i}A+B\) es una matriz inversible

gracias!!