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Sea \(V\) un \(\mathbb{R}\)-espacio vectorial de dimension 4 y \(B\) una base de \(V\) tal que
$$[f]_B=\begin{pmatrix} 1 &0 &k &1 \k &2 &k^2 &k+1 \0 &4 &1 &3-k \1 &0 &2k &4k+3 \end{pmatrix}$$
Hallar todos los \(k \in \mathbb{R}\) para los cuales \(Nu(f) \oplus Im(f) = V\) -
Sean \(S = \left \{ p \in \mathbb{R}_3[X] / p(1)=p'(-1) =0 \right \}\) y \(T=\left \langle -3X^3 + X^2 +2X, X^3-1 \right \rangle\) subespacios de \(\mathbb{R}_3[X]\) como \(\mathbb{R}\)-espacio vectorial.
Hallar una transformacion lineal \(f:\mathbb{R}_3[X] \rightarrow \mathbb{R}_3[X]\) tal que \(F(S) = T, \ F(T)=S\) y \(f\) o sea isomorfismo. -
Sean \(V\) un \(K\)-espacio vectorial y \(f,g \in End(V)\) proyectores tales que \(f\circ g = g\circ f\), probar que:
a)\(f\circ g\) es proyector.
b) \(Im(f\circ g)=Im(f)\cap Im(f)\)
c) \(Nu(f\circ g) = Nu(f) + Nu(g)\)
4)Sean\(V\) y \(W \ K\)-espacios vectoriales de dimension finita y sea \(f:V \rightarrow W\) una transformacion lineal.
Recordemos que se define la transformacion lineal \(f^t:W^* \rightarrow V^*\) de la siguiente manera:
\(f^t\) se llama la funcion transpuesta de \(f\).
a) Probar que \((Im(f))^\circ = Nu(f^t)\) y que \(Im(f^t) = (Nu(f))^\circ\).
b) Sean \(v \in V\) no nulo y \(T:V \rightarrow V\) una transformacion lineal tal que \(T(v)=\lambda v\) para algun \(\lambda \in K\). Probar que existe \(\varphi \in V^*\) no nulo tal que \(T^t(\varphi) = \lambda \varphi\)
- Sea \(\mathbb{C}_2[X]\) un espacio vectorial sobre \(\mathbb{C}\)
a) Hallar todos los \(k \in \mathbb{R}\) tales que: \(\left \langle f,g \right \rangle = kf(0)\bar{g(0)} + \int_{0}^{1} f'(x) \bar{g'(x)} dx\) es un producto interno en \(\mathbb{C}_2[X]\).
b) Sea \(B = \left \{ 1,X,X^2 \right \}\) una base de \(\mathbb{C}_2[X]\). Para los \(k \in \mathbb{R}\) hallados en el item anterior, calcular la matriz del producto interno en esa base. ¿es \(B\) una base ortogonal?
c) Para \(k=4\), hallar la distancia entre el polinomio constante \(p=1\) y el subespacio \(\left \langle X.X^2 \right \rangle\)