f (A)=tr(A)I - 3A
Hallar bases del Nuf e im f
Probe para sacar el nu f igualar tr(A)I - 3A a cero (la matriz nula) con lo que me quedo:
tr (A)I= 3A supuse de A debería tener elementos solo en la diagonal para que ambas cosas sean iguales y que los tres números de la diagonal de 3A deberían ser iguales así que escribí una base del núcleo como la matriz que tiene unos en la diagonal....pero no se si esta bien pensado y la imagen no me sale!! agradezco respuestas 🙂 (perdón por no usar latex)
Tema
problema de parcial
Para la imagen agarrate una base de las matrices y aplicales f a cada uno de los elementos de tu base. Lo que te queda es un conjunto generador de la imagen de f. Para el núcleo ibas bien pero pensá que quiere decir que \(Tr(A) Id = 3 A\)
Firma
$$A\; flight\; of\; fancy\; on\; a\; windswept\; field...\;$$
Lo pense mejor y me di cuenta que si tomo una base del núcleo como la matriz identidad no me funciona que f(A) me de cero en todos los casos...Entonces pense que si tomo a A como la matriz nula se cumple que tr(A)Id=3A con lo cual el núcleo me quedaría de dimensión nula?...Puedo tomar como una base de 3X3 a la canónica?? para luego aplicarle f y construir una base de la imagen??
jajaj vamos de vuelta... asi como tiraste el problema al principio no se si es en \(K^{n \: x \: n}\) o en \(K^{3 x 3}\). si es en \(3 x 3\) tomate la base
$$\left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right), \left(\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right), \left(\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)$$
$$\left(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right), \left(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right), \left(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)$$
$$\left(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}\right), \left(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}\right), \left(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right)$$
y aplicale f a todos los elementos... eso te da un conjunto generador de la imagen... tomate un conjunto li y listo
dsp lo que decís del núcleo está mal... no es de dimensión nula... por ejemplo la matriz
$$\left(\begin{matrix} 1/3 & 0 & 0 \ 0 & 1/3 & 0 \ 0 & 0 & 1/3 \end{matrix}\right)$$
está en el núcleo de f. Pensá como caracterizar las matrices que cumplen que \(Tr(A) Id= 3A\)
pues \(A \in Nu(f) \Leftrightarrow Tr(A)Id = 3A\)
fijate que cualquier múltiplo de la identidad tambien está. \(Tr(\lambda Id) Id = \lambda Tr(Id) Id = \lambda 3Id= 3(\lambda Id)\)
luego \(f(\lambda Id)=0\)