[No resuelto] 10/07/2012 - Segundo Parcial

si me pueden dar una mano con todo menos 2ndo y 3a se agradeceria mucho, me fue mal y tengo q recuperar... en este momento el q mas me quema es el 1ero... gracias!!

Para el 1):
Elegí \(v\in \mathbb{R}^{2k}\) no nulo, probá que \(v\) y \(Av\) son linealmente independientes, repetí el procedimiento \(k\)-veces para armarte una base de la forma
\(v_1, Av_1,v_2, Av_2,\cdots,v_k, Av_k\) y listo.

Para el 1:
El polinomio \(P(X)=x^2+1\) es irreducible en \(\mathbb{R}[x]\) y como \(P(A)=0\), tenemos \(m_A|P\). Como P es irreducible y \(m_A\in\mathbb{R}[x]\), entonces \(m_A=P\). Ahora bien, en la forma racional cada bloque de compañeras se corresponde a un factor irreducible del minimal, pero el minimal está compuesto por un solo factor irreducible. Entonces, la forma racional está compuesta únicamente por bloques de matrices compañeras de P (y como cada bloque es de 2x2, hay k bloques).

Para el 3b:
Un subespacio es T*-invariante sii su complemento ortogonal es T-invariante. Un complemento ortogonal de un subespacio de dimensión n-1 tiene dimensión 2 (porque el espacio es de dimensión n+1). Entonces hallás el (único) subespacio invariante de T, que sería \(\langle 1,X\rangle\) y el ortogonal a ese subespacio es el que pide el problema.

Para el 4:
El 4 creeeeo que hay una manera geométrica inteligente de hacerlo, pero no fue la forma en la que lo hice. Yo me di cuenta que tenía que fijar a (1,1,1) en su recta, lo cual me dejaba la chance de mandarlo a (1,1,1) o a (-1,-1,-1). El ejercicio te daba otro dato (dónde mandaba el (0,1,2)), así que para definir la transformación me faltaba un punto. Tomé el (0,0,1) y empecé a jugar con los valores hasta que llegué a una transformación como la que quería y después demostré que era ortogonal y mandaba una variedad en la otra. El b) sale observando que la distancia de L1 al 0 (es decir, la mínima norma de un vector de L1) es menor a la distancia de L3 al 0. Como las transformaciones ortogonales preservan norma, es imposible mandar L1 en L3 (al punto de mínima norma de L1 lo tendrías que mandar a un punto con su misma norma, pero no hay nignuno así en L3)

fmartin escribió:

Para el 4:
El 4 creeeeo que hay una manera geométrica inteligente de hacerlo, pero no fue la forma en la que lo hice. Yo me di cuenta que tenía que fijar a (1,1,1) en su recta, lo cual me dejaba la chance de mandarlo a (1,1,1) o a (-1,-1,-1). El ejercicio te daba otro dato (dónde mandaba el (0,1,2)), así que para definir la transformación me faltaba un punto. Tomé el (0,0,1) y empecé a jugar con los valores hasta que llegué a una transformación como la que quería y después demostré que era ortogonal y mandaba una variedad en la otra. El b) sale observando que la distancia de L1 al 0 (es decir, la mínima norma de un vector de L1) es menor a la distancia de L3 al 0. Como las transformaciones ortogonales preservan norma, es imposible mandar L1 en L3 (al punto de mínima norma de L1 lo tendrías que mandar a un punto con su misma norma, pero no hay nignuno así en L3)

martin, primero, muchas gracias por la rta, a quimey tmb, los entendi perfectamente... pero en el 4to ahi dnd decis q jugas con los valores, jugas con objetivo de que la transformacion resulte ortogonal no?? no se me ocurre como hacer esto, baaaha, lo unico que pense fue en construirme la matriz y empezar a tirar otras tal q ella por su transpuesta de la identidad... sino es asi no se me ocurre q podrias haber hecho...

veraag escribió:

fmartin escribió:

Para el 4:
El 4 creeeeo que hay una manera geométrica inteligente de hacerlo, pero no fue la forma en la que lo hice. Yo me di cuenta que tenía que fijar a (1,1,1) en su recta, lo cual me dejaba la chance de mandarlo a (1,1,1) o a (-1,-1,-1). El ejercicio te daba otro dato (dónde mandaba el (0,1,2)), así que para definir la transformación me faltaba un punto. Tomé el (0,0,1) y empecé a jugar con los valores hasta que llegué a una transformación como la que quería y después demostré que era ortogonal y mandaba una variedad en la otra. El b) sale observando que la distancia de L1 al 0 (es decir, la mínima norma de un vector de L1) es menor a la distancia de L3 al 0. Como las transformaciones ortogonales preservan norma, es imposible mandar L1 en L3 (al punto de mínima norma de L1 lo tendrías que mandar a un punto con su misma norma, pero no hay nignuno así en L3)

martin, primero, muchas gracias por la rta, a quimey tmb, los entendi perfectamente... pero en el 4to ahi dnd decis q jugas con los valores, jugas con objetivo de que la transformacion resulte ortogonal no?? no se me ocurre como hacer esto, baaaha, lo unico que pense fue en construirme la matriz y empezar a tirar otras tal q ella por su transpuesta de la identidad... sino es asi no se me ocurre q podrias haber hecho...

De nada che! Claro (antes de seguir te aclaro que el 4 me salió con más culo que cabeza). Fijate que el dato que te dan es que (0,1,2) (que está en la primer variedad) cae en (1,0,2) (que está en la segunda) y es más o menos claro que (1,1,1) tiene que ser autovector (si no lo fuera, algunas cosas de la primer variedad se te "escaparían"). Como querés que sea ortogonal, el autovalor asociado tiene que ser 1 o -1. Yo lo pensé con 1, pero creo que con -1 se debe poder también. Entonces, tengo \((0,1,2)\mapsto(1,0,2)\) y \((1,1,1)\mapsto(1,1,1)\): completo a una base con (0,0,1) y pongo que \((0,0,1)\mapsto(x,y,z)\). Si llamás B a esta base, y escribís a los vectores canónicos en esta base, te queda que \((1,0,0)\mapsto(1,1,1)-(1,0,2)+(x,y,z)=(x, 1-y, -1+z)\), \((0,1,0)\mapsto (1,0,2)-2(x,y,z)=(1-2x, -2y, 2-2z)\) y que \((0,0,1)\mapsto(x,y,z)\). En un momento de inspiración (?) me avive que si x=0, y=0, z=1, entonces me mandaba la base canónica en \((0,1,0), (1,0,0)\) y \((0,0,1)\) respectivamente (así que la TL queda ortogonal), y si agarrás un punto de L1, o sea, de la pinta \(\lambda(1,1,1)+(1,2,3)\), eso cae en \(f(\lambda (1,1,1)+(1,2,3)) = (\lambda+1)(1,1,1)+(1,0,2)\) que está en L2. Como ves, bastante turbio todo, pero funciona. Si alguien tiene una manera más inteligente de hacerlo, me interesaría saberla. Diego me contó más o menos cuál era la idea geométrica pero ya se me olvidó =P