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Primer recuperatorio del segundo parcial - 14/12/2011

3 respuestas 4500 visitas 2011-12-14

#1 elnieto 2011-12-14 23:33

Lamentablemente tuve que dar recuperatorio 🙁 pero buen, dejo el exámen que me tomaron hace un rato.

Ejercicio 1.
Sea \(A \in \mathbb{R}^{6\times6}\) la matriz

A = \begin{bmatrix}{0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}\\{1}&{2}&{0}&{-2}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{-1}&{0}&{-1}&{0}\\{1}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{0}&{1}&{0}\\{0}&{1}&{0}&{-1}&{0}&{2}\end{bmatrix}

Hallar tres subespacios de \(\mathbb{C}^{6}\) A-invariantes de dimensión 4 que admitan un complemento A-invariante.

Ejercicio 2.
Se considera en \(\mathbb{R}^{3\times3}\) el producto interno dado por \(\left<{A,B}\right> = tr(A{B}^t)\).
Sea \(f : \mathbb{R}^{3\times3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3\times3}\) la transformación lineal dada por \(f(A) = A^t + 2A\).

(a) Hallar \(f^*\).

(b) Descomponer \(\mathbb{R}^{3\times3}\)como suma directa de dos subespacios no nulos \(f\)-invariantes.

Ejercicio 3.
Hallar una transformación lineal ortogonal \(f : \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^3\) tal que:

\(f(1, 0, 1) = (-1, 0, -1)\),
\(det (\left |{f_E}\right |) = -1\),
\(tr (\left |{f_E}\right |) = 1\).

Ejercicio 4.
Sean \(L : \lambda (-1, 0, 1) + (9, 2, -13)\) y \(A = (1, 2. -1)\). Hallar todos los pares de puntos \(B, C \in L\) tales que el triángulo \(ABC\) sea rectángulo en \(B\) e isósceles.

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Justifique\ todas\ sus\ respuestas.

#2 elnieto 2011-12-15 13:34

Cualquier idea sobre el primero se agradece.

#3 Quimey 2011-12-15 15:13

Calculá la forma de Jordan y jugá con los bloques.

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Quimey

#4 elnieto 2011-12-15 15:21

Si, en el parcial pensé lo mismo. Pero lo que me confundía era lo que de los subespacios "admitan complementos A-invariantes" encima me trabé con las cuentas y estaba podrido de rendir, incómodo, con dolor de cabeza. Y cansado de hacer cuentas. Y de vivir.

Voy a hacer la forma y me fijo si se me ocurre algo.

Gracias.