Ejercicio 1. Sea \(f: \mathbb{R}^8 \rightarrow{} \mathbb{R}^8\) una transformación lineal tal que:
\(f\) tiene tres autovalores distintos.
\(-1\) es raíz simple de \(\chi_f\).
dim(Ker (\(f - I\))) = 2.
dim(Ker \(f^2\)) \(-\) dim(Ker \(f\)) = 2.
dim(Ker \(f^{17}\)) = 4.
Hallar la forma de Jordan de \(f\).
Ejercicio 2. Considerar \(\mathbb{R}_2[X]\) con el producto interno \(\left \langle f,g \right \rangle = \int_{-1}^{1} f(x)g(x)dx\) y el subespacio \(S = <1+x>\).
i) Determinar una base de \(S^{\perp}\).
ii) Hallar\(f\in S^{\perp}\) tal que \(\int_{-1}^{1} (f(x) - 1 - x^2)^2dx\) tome el mínimo valor posible.
Ejercicio 3. Sea \(A\in \mathbb{C}^{4\times 4}\) una matriz hermitiana tal que \((A^2 + I)(A^2 - 3A + 2I) = 0\).
Probar que para todo \(x\in \mathbb{C}^{4}\) no nulo, \(\left \langle Ax,x \right \rangle > 0\).
Ejercicio 4. Sean \(\Pi : 3x - 4y = 5\) y \(L : \lambda (1,1,1) + (1,0,1)\). Encontrar una recta \({L}'\) tal que se satisfaga simultáneamente:
\({L}' \cap L \neq \emptyset\)
\({L}' \perp L\)
Todos los puntos de \({L}'\) están a distancia 3 de \(\Pi\)
Hay que avivarse que los autovalores que faltan son 1 y 0. Después, del dato de los kernels de \(f\), \(f^2\) y \(f^{17}\) se saca que el bloque de autovalor 0 tiene 2 bloques de 2x2. El bloque de -1 es uno de 1x1, y del dato del \(ker (f - I)\) se saca que el de autovalor 1 tiene dos bloques y solo queda que sean uno de 2x2 y uno de 1x1.
2)Fácil y medio cuentoso. Para ii) solo hay que avivarse que la integral que te dan es la norma al cuadrado de \(f(X) - (1 + x^2)\), entonces \(f\) es la proyección ortogonal de \(1 + x^2\) sobre \(S^{\perp}\). Queda \(x^2 - x\)
Como es hermitiana es diagonalizable con autovalores reales. Además te dan un polinomio que la anula, cuales raices son i, -i, 1 y 2, de lo que se deduce que los autovalores son, 1, 2 o ambos. Al hacer el producto interno te quedan todos cuadrados sumados multiplicados por 2 o 1.
Se puede hacer de varias formas. Yo intersequé el plano ortogonal a la dirección de \(L\) con uno de los dos planos que están a distancia 3 de \(\Pi\)